Valoraciones sobre un campo y ramificación

Question

Para $K\subseteq L$ donde $L$ es un número finito de extensión de campo de $K$, podemos considerar $p\subset R_K$ $p'\subset R_L$ donde $p'$ se encuentra sobre $p$ donde $R_K$ es el anillo de enteros de $K$ $R_L$ se define de la misma manera. A continuación, las valoraciones en $K$ $L$ están asociados con los números primos de los campos, de modo que existe una valoración asociada con $p$$p'$.

Mi pregunta es: ¿cómo el camino de $p$ se comportan en $L$ (es decir, si es inerte, dividir o ramificada) afectar a la relación entre el$v_{p}(x)$$K$$v_{p'}(x)$$L$?

Por ejemplo, si $L$ es una ecuación cuadrática de la extensión de $K$, yo creo que si:

• $p$ es inerte en $L$, $v_p(x)=v_{p'}(x)$ (tenga en cuenta que esto significa $v_{p}(x)$ $K$ es igual a$v_{p'}(x)$$L$).
• $p$ se divide en $L$, por lo que el$pR_L=p'p''$,$v_p(x)=v_{p'}(x)+v_{p''}(x)$.
• $p$ ramifies en $L$, por lo que el$pR_L=p'p'$,$v_p(x)=2v_{p'}(x)$.

Estoy gustaría saber cómo es generalizada para general finito extensiones $L$ $K$ el uso de la inercia de grado y de una prueba o una referencia a algo que contiene una prueba sería muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Consideremos primero su cuadrática caso. Tenga en cuenta que las valoraciones pueden ser obtenidos desde el primer ideal de la factorización, es decir, para $x$ $K$ hemos $$ xR_K = \prod_{\mathfrak p \subseteq R_K} \mathfrak p^{v_\mathfrak p(x)}, $$ donde como de costumbre, $xR_K$ indica que el director (fraccional) ideal de $K$ generado por $x$ y el producto se ejecuta sobre todos los distinto de cero el primer ideales de $R_K$. Dado que sólo estamos interesados en la valoración a una prima fija ideal $\mathfrak p$, vamos a escribir $$ xR_K = \mathfrak a \cdot \mathfrak p^{v_\mathfrak p(x)}, $$ donde $\mathfrak a$ es un ideal fraccional de $K$. Con el fin de obtener las valoraciones en el mayor campo de $L$ necesitamos considerar $xR_L$. Por lo tanto, debemos considerar $$ xR_L = (\mathfrak a R_L) \cdot (\mathfrak p^{v_\mathfrak p(x)} R_L) = \mathfrak A \cdot (\mathfrak p R_L)^{v_{\mathfrak p}(x)}.$$ Ahora podemos considerar tres casos:

1. $\mathfrak p$ es inerte, $\mathfrak pR_L = \mathfrak P$. Luego de conectar obtenemos $$ xR_L = \mathfrak A \cdot \mathfrak P^{v_\mathfrak p(x)}. $$ Tenga en cuenta que como $\mathfrak a$ no tiene nada en común con $\mathfrak p$, el ideal de $\mathfrak A$ no tiene nada en común con $\mathfrak P$. En particular, $v_\mathfrak p(x)$ es el exponente de $\mathfrak P$ en el primer ideal de la descomposición de $xR_L$, es decir, $$ v_\mathfrak P(x) = v_\mathfrak p(x). $$
2. $\mathfrak p$ divisiones, $\mathfrak pR_L = \mathfrak P_1 \mathfrak P_2$. De nuevo, obtenemos $$ xR_L = \mathfrak A \cdot (\mathfrak P_1 \mathfrak P_2)^{v_\mathfrak p(x)} = \mathfrak A \cdot \mathfrak P_1^{v_\mathfrak p(x)} \mathfrak P_2^{v_\mathfrak v(x)}. $$ Con el mismo argumento, como en (1) obtenemos $$ v_\mathfrak p(x) = v_{\mathfrak P_1}(x) = v_{\mathfrak P_2}(x).$$ (Esto implica $v_\mathfrak p(x) = (v_{\mathfrak P_1}(x) + v_{\mathfrak P_2}(x))/2$.)
3. $\mathfrak p$ ramifies, $\mathfrak p = \mathfrak P^2$. Ahora sucede algo nuevo. Tenemos $$ xR_L = \mathfrak A \cdot (\mathfrak P^2)^{v_\mathfrak p(x)} = \mathfrak A \cdot \mathfrak P^{2v_\mathfrak p(x)}. $$ Llegamos a la conclusión de $$ v_\mathfrak P(x) = 2 v_\mathfrak p(x),\,\text{i.e.,}\quad v_\mathfrak p(x) = \frac{v_\mathfrak P(x)} 2.$$

Espero que esto muestra cómo la inercia grado influye en las extensiones. Además, usted debería ser capaz de describir la situación de un número arbitrario de campo extensiones $L|K$ donde prime $\mathfrak p$ $K$ se descompone como $$ \mathfrak p R_L = \prod_{i=1}^g \mathfrak P_i^{e_i} $$ en $L$. Creo que cada libro titulado "la teoría algebraica de números" debe contener este material de forma más o menos explícita.