Codominio de una función

Question

En la escuela secundaria nos dijeron que una función tiene un dominio y un recorrido, la función mapea desde el dominio hacia el recorrido. De modo que el dominio contiene todos y solo los posibles valores de entrada y el recorrido contiene todos y solo los posibles valores de salida.

Ahora en la universidad me dicen que una función tiene un dominio y un codominio, y que el codominio contiene todas las posibles salidas pero también puede incluir otros números. ¿Cuál es el punto de tener valores en el codominio que no pueden ser generados por la función, cómo ayuda eso a describir la función? ¿Significa esto también que el dominio puede incluir números que no son entradas para la función?

Sin duda, esto significa que se podría decir que el codominio de cualquier función (que genere números) es el conjunto de números complejos (todos los números).

EDIT: Wikipedia dice que la función $f : x \rightarrow x^2$ tiene un codominio de $\mathbb{R}$ pero su imagen (lo que supongo que conocía como recorrido en la escuela secundaria) es $\mathbb{R}^+_0$, entonces ¿por qué no decir simplemente que el codominio es $\mathbb{R}^+_0$?

EDIT2: ¿También es cierto entonces que si una función es "sobre", el codominio es igual a la imagen? ¿Entonces cualquier función puede ser "sobre" si simplemente se cambia el codominio?

Lo que realmente estoy tratando de preguntar, supongo, es que el rango/imagen de una función está definido por la función, ¿qué define el codominio?

Answer 1

¿Cuál es el punto de tener valores en el codominio que no pueden ser producidos por la función, cómo ayuda eso a describir la función?

Aquí hay algunas razones por las que permitimos que algunas funciones no sean sobreyectivas.

1. Como mencionó Lubin, determinar el rango de una función puede ser difícil. Por ejemplo, determinar el rango de un polinomio de grado par alto (como $P(x) = x^6 - 3x^2 + 6x$) implica encontrar las raíces de un polinomio de alto grado (como $P'(x) = 6x^5 - 6x + 6$, cuyas raíces no se pueden expresar como radicales), una tarea difícil en general. Podríamos solucionar esto al definir el codominio de cada función $f$ como $\operatorname{im} f$ (es decir, $\{y\,:\,f(x)=y\text{ para algún }x\in X \}$), pero eso realmente no agrega ninguna información.

2. Es conveniente separar las funciones sobreyectivas de las demás funciones porque las funciones sobreyectivas son duales a las funciones inyectivas. Cuando digo "dual" me refiero, por ejemplo, al siguiente hecho: una función $f:A\to B$ es inyectiva si y solo si hay una función $g:B\to A$ tal que $g\circ f=1_A$ (por $1_A$ quiero decir la función identidad en $A$); una función $f:A\to B$ es sobreyectiva si y solo si hay una función $g:B\to A$ tal que $f\circ g=1_B$. Cuando estudias la rama de las matemáticas conocida como teoría de categorías, verás que es muy natural tener propiedades duales como esta.

¿Esto también significa que el dominio puede incluir números que no son entradas en la función?

Como han señalado otros, el dominio de una función puede incluir otros objetos además de números. Por ejemplo, podrías definir una función que tome como entrada a una persona y devuelva su edad. En cualquier caso, una función debe estar definida en todos los posibles valores de entrada. La respuesta a tu segunda pregunta es no.

¿Y también es cierto entonces que si una función es "sobre", el codominio es igual a la imagen? Entonces seguramente cualquier función puede ser "sobre" si simplemente cambias cuál es el codominio, ¿no?

Exactamente. Puedes hacer que cualquier función sea sobreyectiva cambiando el codominio. Pero como mencioné anteriormente, en general no sabemos cuál es la imagen de una función, por lo que no agrega ninguna información restringir el codominio.

Lo que realmente estoy tratando de preguntar, supongo, es: ¿el rango/imagen de una función está definido por la función, qué define al codominio?

El codominio generalmente surge naturalmente en la definición de la función. Por ejemplo, siempre que tengas una función que devuelve un número, la elección natural de codominio es $\mathbb R$. Por supuesto, si por "número" te refieres a "número complejo" entonces el codominio podría ser $\mathbb C$; si por "número" te refieres a "cuaternión" entonces el codominio podría ser $\mathbb H$.

Por otro lado, debido al hecho teórico de que "no hay un conjunto que contenga todo", no es posible elegir un único codominio universal para funciones.

Cuando escribí esta respuesta me di cuenta de que solía hacer las mismas preguntas que tú, pero dejé de hacerlo una vez que aprendí suficiente matemáticas. No puedo darte una sola razón profunda por la que no hacemos que todas las funciones sean sobreyectivas, además de una pragmática: la sobreyectividad es una noción útil, y deshacernos de ella no sería rentable.

Answer 2

En primer lugar, no todo en matemáticas son números. Hay otros objetos, todos los cuales son valores legítimos para una función. Aquí tienes un ejemplo simple:

$f(x, n) = x^n$ en realidad se puede ver como una función, $F(n)$ devuelve la función que asigna $x$ a $x^n$. Entonces $F$ toma un número natural, y produce una función de los números reales a los números reales.

Ahora consideremos estos para diferentes $n$'s, cuando $n=0$ entonces $F(n)$ es la función constante $1$. Cuando $n=1$ el rango es $\Bbb R$. Cuando $n=2$ el rango es $\Bbb R^{\geq 0}$. Y así sucesivamente.

Cada uno de estos valores nos da un rango diferente. Pero si pensamos en todos ellos como funciones de $\Bbb R$ a $\Bbb R$ entonces podemos "fusionarlos" en una gran función $f(x, n) = x^n$.

Hasta cierto punto, tienes razón. La invención de "codominio" es un poco artificial. En partes de las matemáticas, una función viene con un codominio asociado (y por lo tanto cambiar el codominio significa cambiar la función), y en otras partes de las matemáticas, el codominio es una propiedad externa asignada a la función y se puede cambiar cuando queramos (siempre y cuando incluya el rango de la función).

Así que esto es un asunto de cómo pretendes usar las "funciones" como objetos matemáticos. Por supuesto, muchos de los ejemplos de cuándo importa un codominio vienen de una etapa un poco posterior. Si estudias ingeniería mecánica entonces es posible que ni siquiera tengas que preocuparte por esto; y si estudias matemáticas, entonces es probable que ya hayas encontrado ejemplos (sin saber que son ejemplos, tal vez).

Answer 3

El codominio es un conjunto en el cual la función mapea. Por ejemplo, si $f:N \rightarrow R$ mediante $f(n) = n$ entonces R es el codominio. El rango de la función es el subconjunto del codominio cuyos elementos corresponden al mapeo de algún elemento del dominio. Así que con $f(n) = n$ el rango en $R$ es el subconjunto $N \subset R$.

Si el rango es igual al codominio, entonces la función se llama sobre, o una surjeción.

Answer 4

Para comprender este problema, vale la pena señalar que hay un par de formas en las que puedes especificar una función. Como mínimo, necesitas especificar un dominio $\mathcal{X}$ y un gráfico $\mathscr{G} \equiv \{ (x, f(x)) |x \in \mathcal{X} \}$ que es el conjunto de todos los pares de valores $(x, f(x))$. La función no puede tomar valores que no estén en su dominio, pero el dominio no necesariamente tiene que ser un conjunto de "números". El rango de la función usualmente se refiere al conjunto de posibles valores de salida, que se define como $\text{Range} f \equiv \{ f(x) | x \in \mathcal{X} \}$. Esta versión de una función no tiene un codominio, por lo que no tiene sentido preguntar si es "sobreyectiva".

Existe un tipo más amplio de función en el que también especificas un codominio. La versión que incluye un codominio es un triplete $f = (\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathscr{G})$ que incluye un dominio $\mathcal{X}$, un codominio $\mathcal{Y}$ y un gráfico $\mathscr{G}$. En esta última versión de una función, tienes tanto un rango como un codominio. Este último debe especificarse como parte adicional de la función, ya que no está determinado de forma única a partir del dominio y el gráfico de la función (por lo tanto, es correcto preguntarse qué "define" el codominio). Como seguramente sabes, el codominio siempre contiene el rango, pero no siempre son equivalentes. Si el rango es el codominio, entonces decimos que la función es "sobreyectiva". Si una función tiene un codominio que es más grande que el rango, entonces, como señalas, hay elementos en el codominio que no pueden ser producidos por la función.

Tienes razón al afirmar que cualquier función se puede convertir en una función sobreyectiva al reducir su codominio a su rango. Hacer esto se llama una "sobreyección inducida" --- es decir, la sobreyección inducida de la función $f = (\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathscr{G})$ es la función $f_* = (\mathcal{X}, \text{Range}(f), \mathscr{G})$. (He utilizado una notación diferente para las dos, pero a veces se juega un poco rápido y suelto con la notación aquí). Del mismo modo, cualquier función sobreyectiva con un codominio especificado (igual a su rango) puede tener su codominio ampliado para que ya no sea sobreyectiva.

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Entonces, ¿por qué molestarse en especificar un codominio en absoluto? Aunque es posible trabajar con funciones sin especificar un codominio (ver la primera forma de la función anterior), hay varias razones por las que a menudo es útil incluir la especificación de un codominio en una función.

1. Como señaló Lubin, para muchas funciones, el rango es difícil de calcular. En tales casos, generalmente es extremadamente fácil especificar un codominio que se sabe que contiene el rango, pero es difícil determinar el rango. Esto tiene el beneficio de al menos "restringir" el rango a ser un subconjunto de un conjunto especificado.

2. Como señaló user134824, hay contextos donde es útil poder separar mapeos "sobreyectivos" de mapeos no sobreyectivos, y para hacer esto requerimos la especificación de un codominio (para que el concepto de sobreyectividad tenga sentido). Él da el ejemplo de relacionar funciones inyectivas y sobreyectivas como funciones duales, pero también hay otros contextos donde es posible que desees tener tanto una versión sobreyectiva como no sobreyectiva.

3. Hay muchos contextos en los que no solo estamos interesados en una función individual, sino que más bien estamos interesados en clases de funciones definidas para un dominio y codominio particulares. Por ejemplo, cuando aprendes teoría combinatoria, varias fórmulas de conteo pueden formularse contando clases de equivalencia de funciones entre un dominio finito y un codominio finito, que luego se formulan en el famoso "twelvefold way". En esta clasificación, contamos el tamaño de las clases de funciones que mapean entre un dominio y un codominio particular, lo que conduce a una serie de fórmulas útiles para problemas de conteo. Si observas la tabla vinculada que muestra el "docefold way", verás que solo una columna (cuatro formas) restringe la atención a funciones sobreyectivas.

Answer 5

Como muchos de los comentaristas han señalado, a menudo es útil tener un conjunto de objetos en mente a los que la función potencialmente se mapea, aunque la función no se mapea a todos esos objetos, es decir, la función no es sobreyectiva (o, lo que es lo mismo, sobre).

Pero lo que no entiendo es por qué normalmente no hacemos lo mismo en el lado de la entrada: por muchas de las mismas razones que puedo ver (por ejemplo, puede ser difícil determinar para qué entradas la función está realmente definida), pensaría que sería igual de útil tener en mente un conjunto de objetos a los que la función potencialmente se mapea, aunque la función no se mapea a todos esos objetos. Ahora, resulta que los matemáticos sí tienen terminología para esto: una función que no está definida para todas esas entradas potenciales se conoce como una función parcial, mientras que una función que está definida para todas sus posibles valores de entrada se conoce como una función total. Pero, típicamente, se supone que las funciones son totales... De hecho, según muchos textos, una función parcial es, por definición, simplemente imposible. Una vez más, no entiendo esta práctica. No es simétrico a cómo tratamos las cosas en el lado de la salida, y, como dije, pensaría que muchas de las razones para tener un 'codominio' que puede ser más grande que el 'rango' real de una función pueden aplicarse también en el lado de la entrada.

De hecho, pensaría que siempre que definimos una función, habría que indicar tal conjunto potencial de entradas en primer lugar. Por ejemplo, si defino una función $f(x) = x^2$, ¿no debería indicar de qué conjunto provienen los valores de $x$? ¿Son los números naturales, los números reales, los números complejos, ... o qué? Ahora, tenemos una práctica notación de la forma $f:A \rightarrow B$... Entonces, ¿por qué no usar esa notación para definir los valores potenciales de entrada y salida? Pero no, tal suerte no hay: se supone que $A$ es el dominio, por lo que se entiende que es el conjunto de valores para los cuales la función está realmente definida, no potencialmente. De hecho, una función como $f(x) = 1/x$ se supone que se escribe $f:\mathbb R/{0} \rightarrow \mathbb R$ (¿o es $f:\mathbb R/{0} \rightarrow \mathbb R/{0}$? ... Suponiendo que yo quería que esto se tratara de los números reales en primer lugar...), todo porque las funciones deben ser totales.

Una vez más, encuentro que todo esto es muy desafortunado. Yo diría: la función $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ definida por $f(x) = 1/x$ es una función inyectiva parcial cuyo dominio y codominio del discurso es $\mathbb R$ y cuyo dominio y codominio de la definición es $\mathbb R/{0}$. ¿No sería eso mucho más fácil y simétrico? De hecho, apuesto a que si siguiéramos esta convención, muchos menos estudiantes de secundaria se confundirían sobre 'dominio', 'codominio' y 'rango'.

Y una cosa más: supongo que 'codominio' es una abreviatura de 'dominio de la conversa' y como lo definieron Russell y Whitehead, el dominio de la conversa es el dominio de la conversa (mejor conocida como inversa) de una función o relación (asumiendo que la función es inyectiva, por supuesto). OK, eso está muy bien definido lógicamente (¡como uno esperaría de un libro llamado Principia Mathematica!) pero ahora mira el desastre que hemos hecho de esto en el uso moderno de 'dominio' y 'codominio': la función $f(x)=1/x$ tiene como dominio $\mathbb R/{0}$, y como codominio $\mathbb R$. Pero el dominio de su inversa/conversa es $\mathbb R/{0}$ (y no me preguntes cuál se supone que debe ser su codominio...) ¡Es decir, el 'codominio' no es el dominio de su inversa! ¡Russell y Whitehead deben estar revolcándose en sus tumbas!