Si $n$ bolas son lanzadas en $k$ contenedores (uniformemente al azar y de forma independiente), ¿cuál es la probabilidad de que cada bin consigue al menos un balón? es decir, Si escribimos $X$ para el número de bandejas vacías, ¿qué es $P(X=0)$?
Yo era capaz de calcular el $E(X)$ y por lo tanto vinculado con la desigualdad de Markov $P(X>=1) \le E(X)$ pero no tengo la manera de trabajar de una respuesta exacta.
http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/itprnn/ps/588.596.pdf
¿Cuál es la probabilidad de que todos los $k$ papeleras están ocupadas?
Para $1\leq i\leq k$, definir $A_i$ a ser el evento de que el $i$th bin permanece vacío. Estos son intercambiables eventos con $P(A_1\cdots A_j)=(1-{j\over k})^n$, por lo que por la inclusión-exclusión, la probabilidad de que no existen bandejas vacías es $$P(X=0)=\sum_{j=0}^k (-1)^j {k\choose j}\left(1-{j\over k}\right)^n.$$
Los números de Stirling del segundo tipo pueden ser utilizados para dar una solución alternativa a la ocupación problema. Podemos llenar todos los $k$ papeleras como sigue: partición de las bolas $\{1,2,\dots, n\}$ a $k$ no vacía de conjuntos, a continuación, asignar el reciclaje de los valores de $1,2,\dots, k$ a estos conjuntos. Hay ${n\brace k}$ particiones, y para cada una de las particiones $k!$ formas de asignar la papelera de valores. Por lo tanto, $$P(X=0)={{n\brace k}\,k!\over k^n}.$$
Para contar los resultados de esta pregunta, con la inclusión-exclusión de la fórmula es correcta, pero $n$ elija $k$ y el resultado se multiplica por $k!$ sólo es correcta si la pregunta le pide que "cada contenedor tiene sólo una pelota". Si n bolas son lanzadas en $n$ papeleras, entonces, una respuesta simple es $n!$. Así que la pregunta de, al menos, una pelota es complicado. Tenemos que escribir cada manera posible y la suma de cada combinación, como otra pregunta acerca cada día de la semana tiene al menos una llamada. Si tenemos el número exacto, podemos contar el número de resultados, pero aquí, es mejor preguntar al menos una bola con la configuración de $n$ bolas lanzado en $n$ papeleras.
Me propongo utilizar la combinatoria. Es decir, las estrellas y las barras de fórmulas.
Ahora solo hay que dividir.
Set $X_i = 1$ si hay al menos 1 bola en el $\textit{i}$th bin; $0$ lo contrario [$\textit{i}$ va de 1 a k]. Esta pregunta es preguntar ¿qué es $P[\sum\limits_{i=1}^k X_i = k]$. Dado que cada una de las $X_i$s son independientes el uno del otro, $P[\sum\limits_{i=1}^k X_i=k]) = (P[X_i=1])^k =(1-P[X_i=0])^k =(1-(\frac{k-1}{k})^n)^k$
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