Una analogía con el teorema de Cantor

Question

El Cantor del teorema establece que para todos los conjuntos de $$|A| < |2^A|$$

Yo estaba interesado en una propuesta similar. Si $A$ es un conjunto, denotan por $A! := \{f : A \rightarrow A \mid f \text{ is a bijection}\}$. Es cierto en general que $|A| < |A!|$?

No es difícil mostrar que $|\mathbb{N}| < |\mathbb{N}!|$. Para ver esto, vamos a $B \subset \mathbb{N!}$ el conjunto de las permutaciones que son la identidad o tienen algún número de incluso los naturales se intercambia con su vecino de la derecha. (0 1 (3 2) 4 5 (7 6) 8 9 10 11 12 ... es un ejemplo). A continuación, $B$ es incontable porque si hacemos un mapa de unswapped pares a 0 y se intercambian los pares 1, esto constituye un bijective el mapeo en el conjunto de las infinitas cadenas binarias, que sabemos son innumerables por el clásico argumento de diagonalización. Entonces como $B \subset \mathbb N!$, $\mathbb N!$ es incontable.

Desafortunadamente, esta prueba no proporciona un enfoque para el caso general. Alguna idea?

Answer 1

Tomando una pista de la Unidad de comentario de abajo (en última instancia, procedentes de Factoriales de Infinito Cardenales por Dawson y Howard, que parece), he aquí un caso de diferenciación de probar el resultado en ZF (como lo que puedo decir).

En el caso de $|A| = |2 × A|$: Asignación de $2^A → (2×A)!,~ B ↦ σ_B$ donde $σ_B$ intercambia las dos copias de $B$ $2×A = A \sqcup A$ pointwise y corrige el resto, es inyectiva. Si $2×A \cong A$ $(2×A)! \cong A!$ y por lo tanto esto demuestra $|A| < |2^A| ≤ |A!|$.

En el caso de $|A| < |2 × A|$: Suponga $|A| > 2$ y fijar un conjunto de dos elementos $2_A ⊂ A$ y un check-point $ξ ∈ A\setminus2_A$. A continuación, la asignación de $2_A×A → A!,~(α,x) ↦ (α~ξ~x)$ es evidentemente la izquierda invertida por $A! → 2_A×A,~τ ↦ (τ^{-1}(ξ),τ(ξ))$, por lo tanto es inyectiva, demostrando $|A| < |2×A| ≤ |A!|$.

Espero que esto sea correcto.