Área de la superficie de una esfera rodeada por tres externamente círculos tangentes?

Question

Vamos a dibujar tres círculos de radio $\dfrac23$ sobre una esfera de radio $1$, todos los cuales son mutuamente tangentes (externamente).

¿Cómo puedo calcular el área de la superficie rodeada por los tres círculos?

Answer 1

Deje $r_1, r_2, r_3$ ser el centro de los tres círculos. Deje $\triangle$ ser el esférico en el triángulo formado por $r_1, r_2, r_3$. Se sabe que es un triángulo equilátero con lado de longitud $\frac 43$. Utilizando la fórmula del coseno en la esfera, tenemos

$$(*)\ \ \ \ \ \cos \left( 4/3\right) = \cos \left( 4/3\right)\cos \left( 4/3\right) + \sin\left( 4/3\right)\sin \left( 4/3\right) \cos A,$$

donde $A$ es el ángulo (los tres ángulos son iguales) de $\triangle$. Ahora el área de la sombra de la $C$ se encuentra por

$$\text{Area}(C) = \text{Area}(\triangle) - 3\text{Area}(B),$$

donde $B$ es el sector con radio de $2/3$ y el ángulo de $A$. Ambos de ellos puede ser calculado: tenemos

$$B = \int_0^{2/3} \int_0^A \sin r d\theta dr= A(1-\cos 2/3),$$

y

$$\text{Area}(\triangle)= (A + A+ A - \pi).$$

Así

$$\begin{split} \text{Area}(C) &= 3A - \pi - 3 A(1-\cos 2/3) \\ &= 3A \cos 2/3 - \pi \end{split}$$

Numnerically, sus alrededor de 0,11.