Voy a definir la métrica de $S^{n-1}$ a través de la retirada de la Eulcidean métrica en ${\mathbb{R}}^{n}$.
Para empezar tomamos $n$-dimensión Cartesiano de coordenadas:
$(x_1,x_2......x_n)$.
La métrica aquí es $g_{ij }= δ_{ij}$ donde $δ$ es la delta de Kronecker.
Podemos especificar la superficie de los parches de $S^{n-1}$ por la parametrización de la $f$:
$$x_1=r{\cos(ϕ_1)},$$
$$x_p=r{\cos(ϕ_p)}{\Pi_{m=1}^{p-1}}{\sin(ϕ_{m})},$$
$$x_n=r{\Pi_{m=1}^{n-1}}{\sin(ϕ_{m})},$$
Donde $r$ es el radio de la hypersphere y los ángulos que tienen el rango normal.
Vemos que el pullback de la métrica Euclidiana $g'_{ab} = (f^*g)_{ab}$ es el tensor métrico de la hypersphere. Sus componentes son:
$$g'_{ab} = g_{ij} {\frac{\partial{x_i}}{\partial{ϕ_a}}} {\frac{\partial{x_j}}{\partial{ϕ_b}}} = {\frac{\partial{x_i}}{\partial{ϕ_a}}}{\frac{\partial{x_i}}{\partial{ϕ_b}}}$$
Llegamos $2$ de los casos aquí:
i) $a>b$ o $b>a$, Para estos componentes se obtiene una serie de términos con la alternancia de signos que se desvanece, $g'_{ab}=0$, por lo que todas las componentes de la diagonal del tensor de desaparecer.
ii) $a=b$,
$$g'_{11}=1$$
$$g'_{aa} ={r^2}{\Pi_{m=1}^{a-1}}{\sin^2(ϕ_{m})}$$
donde $2<a<{n-1}$
El factor determinante es muy sencillo de calcular:
$$det[g'_{ab}] = {r^2}{\Pi_{m=1}^{n-1}}g'_{mm}$$
Finalmente, podemos escribir la métrica de la hypersphere como:
$$g' = {r^2}{d{ϕ_{1}}}{\otimes{}d{ϕ_{1}}} + {r^2}{\Sigma_{a=2}^{n-1}}{\Pi_{m=1}^{a-1}}{\sin^2(ϕ_{m})}{d{ϕ_{a}}}{\otimes{}d{ϕ_{a}}} $$
