Descomposición de Jordan de $A^T$ dado que de $A$

Question

Supongamos que tengo el Forma normal de Jordan de una matriz $A$ . La descomposición implica la matriz de Jordan $J$ y una matriz de similitud $P$ tal que $P^{-1}.J.P = A$ . Mi pregunta: ¿es posible encontrar la matriz de similitud de $A^T$ dado que sabemos que de $A$ ? Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $P$ y $J$ corresponden a la descomposición de Jordan de $A$ es decir $A = P^{-1} J P$ entonces $J$ es diagonal de bloque: $$ J = \begin{pmatrix} J_1 & & \\ & \ddots & \\ & & J_p \end{pmatrix} $$ Sea $J_k$ sea $n$ por $n$ bloque: $$ J_k = \begin{pmatrix} \lambda_k & 1 & 0 &\cdots \\ 0 & \lambda_k & 1 & \cdots \\ 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & & & \lambda_k \end{pmatrix} $$ Tenga en cuenta que $$ J_k^T = S^{-1} J_k S $$ donde $S$ es una matriz antidiagonal, es decir $S_{ij} = \delta_{i+j, n+1}$ . Así $A^T = P^T J^T (P^{T})^{-1} = P^T \mathcal{S}^{-1} J \mathcal{S} (P^{T})^{-1}$ donde $\mathcal{S}$ es una matriz diagonal de bloques con $S_k$ matrices correspondientes a cada individuo $J_k$ bloque.

Answer 2

Puesto que la inversión conmuta con la transposición, y ambas son operaciones de inversión de orden,

$$ \begin{align*} A^T & =(P^{-1}JP)^T\\ & =P^TJ^T(P^{-1})^T\\ & =P^TJ^T(P^T)^{-1} \end{align*}$$

$J^T$ no está en la forma normal de Jordan. Primero supongamos $J$ tiene un solo bloque de Jordan con valor propio $\lambda$ . Entonces $J^T$ representa una transformación en la que el $n$ se escala por $\lambda$ y cada vector base anterior se escala por $\lambda$ y esquilada $1$ unidad en la dirección del siguiente vector base. Por tanto, si se invirtiera el orden de las bases, tendríamos una transformación en la que el primero se escala por $\lambda$ y cada vector base subsiguiente se escala por $\lambda$ y esquilada $1$ unidad en la dirección del anterior vector base. Es decir, tendríamos un bloque de Jordan.

Por tanto, si cambiamos de base invirtiendo el orden de las bases mediante una matriz $M$ tenemos $$J^T=MJ_{A^T}M$$ donde $M$ es la matriz antidiagonal formada por todos los 1. ( $M$ es su propia inversa). Por supuesto, si $J$ tiene más de un bloque de Jordan, tendrá que invertir los órdenes de varios subconjuntos de vectores base y $M$ tendrá bloques de submatrices antidiagonales.

Ahora, $$A^T=(P^TM)J_{A^T}(M(P^T)^{-1})$$

Answer 3

¿Ha probado la informática? $(PAP^{-1})^T?$ . Lo que obtendrá será casi la forma Jordan normal de $A^T$ . Sólo tienes que reordenar los vectores. ¿Qué matriz necesitas para eso?