Integral de la $\cot^2 x$?

Question

¿Cómo encontrar $\int \cot^2 x \, dx$? Por favor, mantenga esto en un calc AB nivel. Gracias!

Answer 1

Utilizamos la identidad: $$\cot x = \pm \sqrt{\csc^2 x - 1} \implies \cot^2 x = \csc^2 x - 1$$

Así podemos reescribir la integral de la siguiente manera:

$$\int \cot^2 x \,dx = \int \left(\csc^2x - 1\right)\, dx$$

$$ \int \left(\csc^2x - 1\right) dx \; = \; \int \csc^2 x \, dx\; -\; \int \,dx \;\;= \;\;-\cot x - x + \text{constant}$$

Recordar, $$\dfrac{d}{dx}\left(\cot x\right) = - \csc^2 x$$ hence $$\int \csc^2 x \,dx = -\cot x + C$$

Answer 2

Dado que el integrando $$\cot^2 x=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$$ is a rational fraction of $\sen x,\, \cos x$, usted podría usar un estándar universal de sustitución llamado la Weirstrasse sustitución $$ \begin{equation*} \tan \frac{x }{2}=t,\qquad x =2\arctan t,\qquad dx =\frac{2}{1+t^{2}}dt \end{ecuación*}, $$

que convierte el integrando en una función racional de $t$ cuya evaluación es parcial por fracciones de expansión. Desde el doble ángulo de fórmulas y la identidad de $\cos ^{2}\frac{x}{2}+\sin ^{2}\frac{x}{2}=1$ obtenemos:

$$ \begin{eqnarray*} \cos x &=&\cos \left(2\cdot\frac{x}{2}\right)=\cos ^{2}\frac{x}{2}-\sin ^{2}\frac{x}{2}=\frac{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2}\frac{x}{2}}{\cos ^{2}\frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2}\frac{x}{2}}{\cos ^{2}\frac{x}{2}}}=\frac{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \\ && \\ \sin x &=&\sin \left(2\cdot\frac{x}{2}\right)=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{\frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2}\frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2}\frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2}\frac{x}{2}}}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}. \end{eqnarray*} $$

Entonces $$ \begin{eqnarray*} \int \cot ^{2}xdx &=&\int \frac{\left( t^{2}-1\right) ^{2}}{2t^{2}\left( 1+t^{2}\right) }\,dt=\int \frac{1}{2}+\frac{1}{2t^{2}}-\frac{2}{1+t^{2}}dt \\ &=&\frac{1}{2}t-\frac{1}{2t}-2\arctan t+C \\ &=&\frac{1}{2}\tan \frac{x}{2}-\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}}+C \\ &=&-\cot x+C, \end{eqnarray*} $$

porque $$ \begin{equation*} \cot x=\frac{\cot ^{2}\frac{x}{2}-1}{2\cot \frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\cot \frac{x}{2}-\frac{1}{2\cot \frac{x}{2}}=\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}}-\frac{1}{2}\tan \frac{x}{2}. \end{ecuación*}$$