Lógica de segundo orden monádica sin constantes, funciones y igualdad

Question

La ley de Leibniz de la identidad de los indiscernibles se puede expresar en lógica de segundo orden monádica: $$\forall x\forall y (x=y \leftarrow \forall P (Px \leftrightarrow Py))$$ Esta ley es verdadera para la semántica estándar. Mi primera pregunta es:

¿Esta ley también es verdadera para la semántica de Henkin con axiomas de comprensión para fórmulas de primer orden?

Aquí todavía asumo que la igualdad es parte del lenguaje, y los axiomas de comprensión son $\forall P_1\ldots\forall P_m\forall x_1\ldots\forall x_n\exists P\forall x(Px\leftrightarrow\varphi(x,P_1,\ldots,P_m,x_1,\ldots,x_n))$ para cada fórmula de primer orden $\varphi(x,P_1,\ldots,P_m,x_1,\ldots,x_n)$ con variable libre $x$, predicados libres $P_1,\ldots,P_m$ y variables libres $x_1,\ldots,x_n$. Una fórmula de primer orden es una fórmula que no utiliza cuantificación sobre predicados (o otras variables de orden superior). Dado que la oración $\forall x_1 \exists P \forall x(Px\leftrightarrow(x=x_1))$ está entre estos axiomas, probablemente sea factible una prueba formal de la ley de Leibniz.

La indiscernibilidad de los idénticos es trivialmente verdadera: $$\forall x\forall y (x=y \rightarrow \forall P (Px \leftrightarrow Py))$$

Esto nos permite definir una relación de identidad $E$ sin referencia explícita a la igualdad: $$\forall x\forall y (Exy \leftrightarrow \forall P (Px \leftrightarrow Py))$$ Si ahora eliminamos la igualdad del lenguaje, esta relación $E$ seguirá siendo la identidad en el caso de la semántica estándar, pero se reducirá a una relación de equivalencia para la semántica de Henkin. Para simplificar, también eliminemos constantes y funciones del lenguaje. Aquí está mi próxima pregunta:

¿La relación de equivalencia $E$ es compatible con el resto del lenguaje, es decir, $\forall x\forall y (Exy \rightarrow(\varphi(x,x) \rightarrow \varphi(x,y))$ para todas las fórmulas $\varphi(x,y)$ con variables libres $x$ y $y$ (es decir, $\varphi$ puede usar todos los símbolos del lenguaje, y también cuantificar sobre predicados monádicos)?

Aquí, los axiomas de comprensión de primer orden no deberían poder usar el símbolo $E$, porque la definición de $E$ utiliza la cuantificación sobre predicados monádicos.

Y mi última pregunta:

¿$E$ particionará cualquier modelo (de un conjunto de axiomas) en clases de equivalencia sin ninguna estructura interna discernible con respecto a las relaciones disponibles en el lenguaje y los predicados monádicos disponibles de la estructura de Henkin?

Answer 1

¿Esta ley también es válida para la semántica de Henkin con axiomas de comprensión?

No, incluso si el lenguaje contiene el predicado de identidad con su interpretación estándar.

En el caso en el que la identidad no esté en el lenguaje, el principio de identidad de los indiscernibles (como se afirma, cuantificando solo sobre propiedades monádicas) falla en la semántica de Henkin. ¿Por qué? Porque podríamos tener individuos distintos que no pueden ser discriminados por ninguna propiedad en la clase de propiedades monádicas que están disponibles en el dominio de segundo orden en la interpretación de Henkin. (Simplemente toma un dominio de segundo orden empobrecido.)

Entonces, ¿qué sucede si agregamos la identidad al lenguaje (dado que el principio de comprensión está en juego)? ¿Qué nuevas propiedades deben estar en el dominio de los cuantificadores de segundo orden monádicos en una interpretación de Henkin? Para empezar, propiedades como ser auto-identico; y (si tenemos un nombre para $a$) propiedades como ser-identico-a-$a$. Pero toma una interpretación de Henkin donde hay individuos sin nombre en el dominio (simplemente elige un dominio lo suficientemente grande), dos individuos distintos como $x$ e $y$ podrían ser indiscernibles ya sea por las propiedades monádicas "ordinarias" disponibles en el dominio, o por propiedades como ser auto-identico [tanto $x$ como $y$ tienen la propiedad] o ser identico-a-algun-individuo-nombrado [ni $x$ ni $y$ tienen la propiedad].

[Al menos, esa es la idea básica. Podríamos hacer una inducción sobre la complejidad lógica de fórmulas abiertas $\varphi$ construidas usando la identidad para embellecer el argumento.]

Por supuesto, si usamos un principio relacional de la identidad de los indiscernibles (en un primer intento, $\forall x\forall y (\forall R\forall z(Rxz \equiv Ryz) \to x = y)$ y tenemos la relación de identidad en el lenguaje y un principio de comprensión adecuado, entonces el principio es trivialmente verdadero.

Answer 2

¿Esta ley también es válida para la semántica de Henkin con axiomas de comprensión de primer orden?

Intentemos probar que es cierto. La idea es que $\forall x_1 \exists P \forall x(Px\leftrightarrow(x=x_1))$ debería implicar la conclusión $\forall x\forall y (x=y \leftarrow \forall P (Px \leftrightarrow Py))$. Aquí está el esbozo de la derivación formal:

\begin{eqnarray} \cup_\varphi\{\forall x_1\exists P\forall x(Px\leftrightarrow\varphi(x,x_1)) \}& \vdash & \forall x_1 \exists P \forall x(Px\leftrightarrow(x=x_1)) \\ \forall x_1 \exists P \forall x(Px\leftrightarrow(x=x_1)) & \vdash & \forall y \exists Q \forall z(Qz\leftrightarrow(z=y)) \\ \forall y \exists Q \forall z(Qz\leftrightarrow(z=y)) & \vdash & \forall x\forall y(\forall P(Px\leftrightarrow Py)\rightarrow(x=y\leftrightarrow y=y)) \\ \forall x\forall y(\forall P(Px\leftrightarrow Py)\rightarrow(x=y\leftrightarrow y=y)) & \vdash & \forall x\forall y(\forall P(Px\leftrightarrow Py)\rightarrow x=y) \end{eqnarray}

---

La siguiente pregunta fue sobre la situación cuando la igualdad se elimina del lenguaje, en el contexto de la lógica de segundo orden monádica:

¿La relación de equivalencia $E$ es compatible con el resto del lenguaje, es decir, $\forall x\forall y (Exy \rightarrow(\varphi(x,x) \rightarrow \varphi(x,y))$ para todas las fórmulas $\varphi(x,y)$ con variables libres $x$ e $y$ (es decir, $\varphi$ puede usar todos los símbolos del lenguaje, y también cuantificar sobre predicados monádicos)?

Hay la pregunta implícita de si el esquema de axiomas dado modela la compatibilidad, y la pregunta explícita de si $E$ es realmente compatible. Ignorando la pregunta implícita, será compatible, porque la definición de $E$ asegura la compatibilidad con predicados monádicos de segundo orden, y los axiomas de comprensión para fórmulas de primer orden implicarán compatibilidad con los predicados de primer orden, similar a cómo se derivó "compatibilidad con la igualdad" anteriormente.

---

La última pregunta parece ser solo una versión más descriptiva de la pregunta anterior:

¿La relación $E$ dividirá cualquier modelo (de un conjunto de axiomas) en clases de equivalencia sin ninguna estructura interna discernible con respecto a las relaciones disponibles en el lenguaje y los predicados monádicos disponibles de la estructura de Henkin?

La respuesta es sí, siempre y cuando esto sea solo una reformulación de la pregunta anterior. Sin embargo, en cierto sentido, la intención de la construcción era deshacerse de la estructura superflua codificada por la igualdad. Esto no se ha logrado, porque los predicados monádicos de segundo orden aún pueden codificar la misma cantidad de estructura superflua que podría ser codificada por la igualdad. Básicamente, todo el sistema sigue siendo equivalente a la lógica de primer orden con igualdad.

La forma correcta de deshacerse de la estructura superflua habría sido una versión más débil del axioma de extensionalidad. (En lugar de $\forall x\forall y[\forall z(x\in z \leftrightarrow y\in z)\rightarrow x=y]$, sería $\forall x\forall y[(\forall z(x\in z \leftrightarrow y\in z)\land\forall z(z\in x \leftrightarrow z\in y))\rightarrow x=y]$. El axioma de extensionalidad obviamente también se deshace de la estructura superflua, pero también tiene otras consecuencias). Esto es diferente de la identidad de los indiscernibles de segundo orden, exactamente porque no se refiere a la cuantificación sobre predicados de segundo orden.