Periodo de un sistema mecánico

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema.

Considere $\mathbb{R}^{2}$ con coordenadas $(x,y)$ . Dejemos que $H$ sea una función suave sobre $\mathbb{R}^{2}$ . Además, considere las ecuaciones de Hamilton: $$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{\partial H}{\partial y}, \qquad \dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{\partial H}{\partial x}.$$ El Liouville $1-$ forma es $\Theta=y\,dx$ . Si $(x,y)$ se encuentra en una curva integral $\Gamma^{+}$ llamamos a la acción a ser el número $$I(x,y)=\int_{\Gamma^{+}}\Theta.$$

$1.$ ¿Cuál es la relación entre la acción y el área de la región en el interior $\Gamma$ ?

$2.$ ¿Es posible expresar el periodo de $\Gamma$ como una integral de línea sobre $\Gamma$ ? Tal integral es siempre impropia?

Para la primera parte he utilizado el teorema de Stokes de la siguiente manera: Si $\Sigma$ es la región en el plano de fase, cuyo límite es $\Gamma$ y $\Sigma$ se orienta de tal manera que la orientación inducida en $\Gamma$ es positivo, tenemos $$I(x,y)=\int_{\Gamma^{+}}\Theta=\int_{\partial \Sigma^{+}}y\,dx=\int_{\Sigma^{+}}d(y\,dx)=\int_{\Sigma^{+}}dy\wedge dx=-\int_{\Sigma^{+}}dx\wedge dy=-\text{area}(\Sigma).$$

Para la segunda parte, sabemos por las ecuaciones de Hamilton que $dt=\left(\dfrac{\partial H}{\partial y}\right)^{-1}dx$ . Ahora, dejemos que E sea un valor de Energía y $\Gamma$ una curva de nivel $E$ en el plano de fase. Entonces el periodo $T$ de $\Gamma$ es: $$T=\int_{\Gamma^{+}}dt=\int_{\Gamma^{+}}\left(\dfrac{\partial H}{\partial y}\right)^{-1}dx.$$ Por supuesto, la última integral es siempre impropia, porque esa $1-$ no está definida en todo el plano, sino en un subconjunto abierto que no contiene ninguna órbita periódica.

Me gustaría saber si hay otra $1-$ forma definida en todo el plano, cuya integral es el periodo.

Tengo la siguiente idea pero no estoy seguro. Para una curva $\Gamma$ de nivel $E$ , defina $\tau=\dfrac{dI}{E}$ . Así que, $$T=\int_{\Gamma^{+}}\tau.$$ Así lo sugiere un problema del libro de Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica donde un problema es demostrar que $T=\dfrac{dI}{dE}$ .

¡Gracias!

Answer 1

Creo que es más fácil ver la buena solución cuando te olvidas de tus coordenadas durante un rato y lo miras desde una perspectiva abstracta. Dejemos que $X = H_y e_x - H_x e_y$ para que el sistema sea el flujo de $X$ es decir $$\gamma'(t) = \frac{dx}{dt}e_x + \frac{dy}{dt}e_y = X(\gamma(t)).$$ Entonces sólo buscamos una forma única $\vartheta$ tal que $\vartheta(X) = 1$ . Está claro que esto nunca es posible cuando $X=0$ pero donde $X \ne 0$ (es decir, lejos de los puntos críticos de $H$ ) podemos elegir $\vartheta = |X|^{-2} X^\flat$ para que $$\vartheta(X) = |X|^{-2} \langle X,X \rangle = 1.$$ Para nuestro $X$ esto es

$$ \vartheta = \frac1{H_x^2 + H_y^2}\left(H_y dx - H_x dy\right).$$

Answer 2

Buena pregunta.

1. ¿Cuál es la relación entre la acción y el área de la región dentro de Γ?

Basta con utilizar el teorema de Fubini para ver que efectivamente son iguales.

2. ¿Es posible expresar el periodo de Γ como una integral de línea sobre Γ? Tal integral es siempre impropia?

La respuesta es saber. Basta con usar el ejemplo del péndulo para ver esto.