Ejemplo de Hipótesis continua que implica el cardenal desigualdad

Question

Actualmente estoy tratando de resolver el Ejercicio 5.27 de Jech de la Teoría de conjuntos (3er Milenio ed.), a saber:

Si $2^{\aleph_1}=\aleph_2$,$\aleph_{\omega}^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega_1}$.

La presunción es decir que no hay ningún cardenal entre el $\aleph_1$ $2^{\aleph_1}$ pero no puedo ver cómo esto puede ser empleado en este "negativo cómputo" de $\kappa^{\operatorname{cf} \kappa}$$\kappa = \aleph_\omega$.

Las sugerencias se agradece mucho; tengo la sospecha de que el derecho puntero me permitirá llegar a una solución.

Answer 1

Sugerencia: Utilice el hecho de que para $\alpha<\omega_1$ $\aleph_{\alpha}^{\aleph_1}= \aleph_{\alpha}^{\aleph_0}\cdot 2^{\aleph_1}$; exercise $5.19$ of the book, and the assumption $2^{\aleph_1}=\aleph_2$to conclude $\aleph_{\omega}^{\aleph_0}=\aleph_{\omega}^{\aleph_1}$, entonces el uso del Teorema de König.