Valor Medio Teorema De Confusión.

Question

En H. Cartan's Cálculo Diferencial, Teorema 3.1.1 se llama el Valor medio Teorema y se expresa como:

Teorema: Vamos a $f:[a,b]\to\mathbf R^n$ $g:[a,b]\to\mathbf R$ dos funciones que son continuas en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$. Suponga que $\|f'(x)\|\leq g'(x)$ todos los $x\in(a,b)$. A continuación,$\|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a)$.

Por otro lado, el universalmente conocido (de Lagrange) Valor medio el Teorema de los estados que

Teorema: Vamos a $f:[a,b]\to\mathbf R$ ser una función que es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$. Entonces existe $c\in(a,b)$ tal que $(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)$.

Ya que están siendo llamados los Teoremas de Valor medio, creo que puede ser uno sigue fácilmente de los otros.

Pero no veo la conexión.

Puede alguien por favor, arrojar algo de luz sobre esto.

Gracias.

Answer 1

"Lagrange" versión de la MVT garantiza la existencia de un punto de $\tau\in\ ]a,b[\ $ tal que $$f(b)-f(a)=f'(\tau)\>(b-a)\ ;$$ pero para los verdaderos valores de las funciones sólo. Su prueba de relés en gran medida en el orden presente en ${\mathbb R}$, pero no en ${\mathbb R}^d$$d\geq2$. Asumir la función $${\bf f}(t):=(\cos t,\sin t)\qquad(0\leq t\leq 2\pi)$$ como un ejemplo: Uno ha ${\bf f}(2\pi)-{\bf f}(0)=0$, pero $|{\bf f}'(t)|\equiv1$; de donde no hay tal $\tau$ en este caso.

Para que el vector de funciones con valores todavía hay una forma más débil de la MVT en forma de una desigualdad: En la versión más simple $$|{\bf f}'(t)|\leq M\qquad(a\leq t\leq b)$$ garantías $$|{\bf f}(b)-{\bf f}(a)|\leq M\cdot(b-a)\ ,\tag{1}$$ pero esta estimación no contiene información sobre la dirección del vector ${\bf f}(b)-{\bf f}(a)$ en términos de la función con valores de vectores $t\mapsto {\bf f}'(t)$. La estimación de $(1)$ es en esencia una aplicación de la desigualdad de triángulo, y el "paso al límite".

"Cartan" versión de la MVT es una carga, la versión de $(1)$.

Answer 2

Cartan del valor medio teorema se sigue de Lagrange del valor medio teorema: Deje $f,g$ ser como en el teorema y supongamos por ahora que $g'(x)>0$ todos los $x$. Considerar el valor real de la función (aquí el punto que indica el punto estándar de producto en $\mathbb R^n$, lo que induce a la norma euclidiana; $y\cdot z=\sum_n y_nz_n$) \begin{align*} h(x)&=(f(b)-f(a))\cdot \left[(f(x)-f(a))(g(b)-g(x))-(f(b)-f(x))(g(x)-g(a))\right]. \end{align*} Lagrange del valor medio teorema garantiza la existencia de $x\in(a,b)$ tal que $$ 0=(f(b)-f(a))\cdot f'(x)(g(b)-g(a))-(f(b)-f(a))\cdot(f(b)-f(a))g'(x)). $$ El Cauchy-Schwarz desigualdad ahora rendimientos $$ \|f(b)-f(a)\|g'(x)\leq (g(b)-g(a))\|f'(x)\|\leq(g(b)-g(a))g'(x), $$ que termina el argumento, desde que asumió $g'(x)>0$.

Queda por eliminar el supuesto de $g(x)>0$. Observar que $g'(x)\geq \|f'(x)\|\geq 0$. Considerar, a continuación,$\tilde g(x)=g(x)+\epsilon(x-a)$, lo que produce $$ \|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a) + \epsilon (b-a). $$ Ahora vamos a $\epsilon\rightarrow 0$.

Answer 3

Supongamos Lagrange valor medio teorema es verdadero, en virtud de la asunción de su primer teorema excepto $f:[a,b]\to \mathbb{R}$

Nos puede mostrar que existe $c\in(a,b)$ tal que $(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)$. Este es el valor medio de Cauchy teorema.

A continuación, tomar el valor absoluto en ambos lados, desde la $0\leq |f'(x)|\leq g'(x)$ para todos los $x\in(a,b)$, $g$ está aumentando, obtenemos $$|f(b)-f(a)||g'(c)|=(g(b)-g(a))|f'(c)| \leq (g(b)-g(a))|g'(c)|$$ Para la versión simplificada de la primera teorema sostiene.