$a,b \in \Bbb R$ y $$\frac{a^5b-b^5a}{a-b}=30$$ y $$a^5+b^5 = 33$$
Lo entiendo. $a^6-b^6=(a-b)63$ Pero no tengo ni idea de cómo resolverlo después. ¿Alguien podría ayudarme?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Stephan Aßmus
Puntos
16
$$ a=2, b=1 $$ obras. También lo hace $$ a=1, b=2. $$
Si se dibuja un gráfico de $x^5 + y^5 = C > 0$ se encuentra que $x+y > 0.$ Así, con $$ ab(a+b)(a^2 + b^2) = 30 $$ encontramos $ab > 0.$ Entonces, con $a^5 + b^5 = 33,$ tenemos los dos positivos.
Escribir $$ a = r \cos \theta, \; b = r \sin \theta $$ y sacando $r^5,$ obtenemos $$ 33 \cos \theta \sin \theta (\cos \theta + \sin \theta) = 30 (\cos^5 \theta + \sin^5 \theta). $$ Tomando segundas derivadas, el lado izquierdo tiene una segunda derivada negativa en $0 < \theta < \pi / 2.$ En el mismo rango, el lado derecho tiene una primera derivada negativa hasta $\theta = \pi / 4,$ después de lo cual tiene una primera derivada positiva. Como resultado, hay a lo sumo dos puntos de igualdad, y ya los hemos encontrado.
