¿Por qué $2x^3 + x$ donde $x \in \mathbb{N}$ ¿Siempre es divisible por 3?

Question

Entonces, ¿tenéis alguna idea? Lo siento si puede parecer una pregunta tonta, pero he preguntado a todos mis conocidos y no tenemos ni idea.

Answer 1

Esto debe quedar claro: $2x^3+x\equiv x-x^3(\mod 3)\equiv -x(x-1)(x+1)(\mod 3)\equiv 0$ .

Answer 2

"El pequeño teorema de Fermat" dice que, si $p$ es un primo, entonces $a^p\equiv a\pmod{p}$ para todos los números enteros $a$ .

Entonces $$ 2x^3+x\equiv2x+x\equiv3x\equiv0\pmod{3} $$

Answer 3

Ciertamente cierto para $n = 1$ . SI $2n^3 + n \cong_3 0 $ entonces $$ 2(n + 1)^3 + n + 1 = 2(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + n + 1 = 2n^3 +6n^2 + 6n +2 + n + 1 $$

$$ = (2n^3 + n ) + 3(2n^2 + 2n + 1) \cong_3 0$$

El resultado se deduce de la inducción matemática.

Answer 4

$2x^3+x=x\cdot(2x^2+1)$ . Si $3|x$ el resultado es inmediato. En caso contrario, $x=3k\pm1\rightarrow$ $\iff2(3k\pm1)^2+1=2(9k^2\pm6k+1)+1=18k^2\pm12k+3=3(6k^2\pm4k+1)$ . QED.

Answer 5

$2x^3+x=3x^3-x(x-1)(x+1)$ ya que $x-1,x,x+1$ son tres números enteros consecutivos, uno de los cuales es divisible por $3$ .