Dado $k$, hay una infinidad de $n$, de modo que $w(n) = w(n+k)$?

Question

$w(n)$ denota el número de los distintos factores primos de a $n$. Me pregunto si alguna de esas resultado es conocido.

Answer 1

Sí, esto fue demostrado en una forma más fuerte por Goldston, Graham, Pintz y Yildirim (2011). Gracias a Gerry Myerson responde aquí para la referencia:

Daniel A. Goldston, Sidney W. Graham, Janos Pintz y Cem Y. Yildirim, Pequeños espacios Entre los números Primos, la Paridad Problema, y Algunas Conjeturas de Erdős en números Enteros Consecutivos, Int Matemáticas Res No el Volumen De 2011, número 7, Pp. 1439-1450, posiblemente disponible en http://imrn.oxfordjournals.org/content/2011/7/1439.short.

El preprint parece ser aquí: http://arxiv.org/abs/0803.2636. En particular, si uno combina los Teoremas 9 y 12, entonces tenemos que para cualquier $k \in \mathbb N$ y cualquier prescrito $A\ge 6$, existen infinidad de $n$ tal que

$$\omega(n) = \omega(n+k) = A.$$

También tienen resultados similares para la mayoría de los otros "divisor de contar las" funciones aritméticas tales como $\Omega(n)$$d(n)$.