El espacio de Hilbert de una partícula libre: Contables o Incontables?

Question

Esta es, obviamente, la pregunta a la Phys.SE post espacio de Hilbert de oscilador armónico: Contables vs innumerables?

Así que pensé que el espacio de Hilbert de un salto de electrones es contable, pero el espacio de Hilbert de un electrón libre es incontable. Pero los argumentos acerca de la suavidad y funciones delta en las respuestas a la pregunta anterior convencerme de lo contrario. ¿Por qué es el espacio de Hilbert de una partícula libre no contables?

Answer 1

Hilbert de dimensión del espacio de Hilbert de una partícula libre es contable. Para ver esto, observe que

1. El espacio de Hilbert de una partícula libre en tres dimensiones es $L^2(\mathbb{R}^3)$.

2. Un ortonormales base de un espacio de Hilbert $\mathcal H$ es cualquier subconjunto $B\subseteq \mathcal H$ cuyo lapso es denso en $\mathcal H$.

3. Todos orthornormal bases de un dado no vacía el espacio de Hilbert tienen la misma cardinalidad, y la cardinalidad de cualquier base es el llamado de Hilbert de dimensión del espacio.

4. El espacio de Hilbert $L^2(\mathbb R^3)$ es separable; se admite una contables, ortonormales. Por lo tanto, por la definición de Hilbert de dimensión de un espacio de Hilbert, se ha contables dimensión.

Adenda. 2014-10-19

Hay otra noción de la base de que normalmente no se refiere a cuando se analizan los espacios de Hilbert, es decir, una base de Hamel (aka algebraicas base). Hay una correspondiente llamado teorema de la dimensión teorema que dice que todos los Hamel bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, y la dimensión del espacio vectorial se define como la cardinalidad de cualquier base de Hamel.

Uno puede mostrar que cada Hamel base de un infinito-dimensional espacio de Hilbert es incontable.

Como resultado, la dimensión (en el sentido de bases de Hamel) de la partícula libre el espacio de Hilbert es incontable, pero de nuevo, esto no es generalmente el sentido en el que uno está usando el término dimensión en este contexto, especialmente en la física.