Cómo entender worldsheet fermión como una sección?

Question

Estoy leyendo Witten del papel en topológica de la cadena, y he encontrado algunas notación matemática es difícil de entender para mí. Considere la posibilidad de la no lineal sigma modelo en 2 dimensiones rige por los mapas $\Phi : \Sigma \rightarrow X$ $\Sigma$ es una superficie de Riemann y $X$ Riemann colector de métrica $g$. $z, \bar{z}$ son de coordenadas local en $\Sigma$ $\phi^I$ es coordinar $X$. $K$ y $\bar{K}$ son canónicos y anticanonical línea de paquetes de $\Sigma$ (el paquete de uno de los formularios de tipos (1,0) y (0,1) respectivamente), y deje $K^{1/2}$$\bar{K}^{1/2}$.El fermi campos del modelo se $\psi_{+}^I$, una sección de $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$.

No puedo entender las secciones de $K^{1/2}$, $\Phi^*(TX)$ y $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$.

Desde mi punto de vista, el elemento de la $K$ debe ser de la siguiente forma $\alpha_z dz\in K$, y ¿cuál es el elemento de $K^{1/2}$? el tire hacia atrás de espacio de la tangente debe ser de la forma $\Phi^*(\beta^i \frac{\partial}{\partial \phi^i})=\beta^i \frac{1}{\frac{\partial \phi^i}{\partial z} }\frac{\partial}{\partial z}$. Pero en algunas de las notas que el autor parece dar que el (0,1) formulario de $\psi_-^i$ con valores en $\Phi^*(T^{1,0} X)$ puede ser escrito como $\psi_{\bar{z}}^i$ satisfacción $\psi \supset \psi_{\bar{z}}^id\bar{z}\otimes \frac{\partial}{\partial \phi^i}$. Esto se contradice con mi ingenuo punto de vista. ¿dónde me equivoco? Cómo entender las secciones de $K^{1/2}$, $\Phi^*(TX)$ y $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Spinors son secciones de la spinor paquete. La descomposición dada por Witten de la spinor paquete es válido en Kähler colectores de que las superficies de Riemann constituyen casos especiales de. El spinor paquete tiene una estructura de grupo $SO(2N)$ donde $N$ es la compleja dimensión de la Kähler colector $M$. Este grupo se reduce a U(N) debido a la existencia de un Kähler estructura. (Esto significa que cuando uno escribe el espacio curvo ecuación de Dirac en $M$, tiene la forma de un calibrado ecuación de Dirac en el espacio plano junto a un U(N) medidor de campo).

El espacio de las secciones de la spinor paquete pertenece un $2^N$ dimensiones spinor representación de $SO(2N)$. Esta representación se descompone en suma directa de todos los anti-simétrica representaciones de la $SU(N)$ factor de $U(N)$ en la reducción de la estructura de grupo. Por lo tanto, desde la dimensión de conteo punto de vista, el $2^N$ dimensiones spinorial la representación del espacio es isomorfo al exterior de álgebra $\Lambda^{(0, *)}(M)$ de la holomorphic tangente paquete.

La aparición de la raíz cuadrada de la canónica paquete es debido al hecho de que la contribución de la $U(1)$ factor de $U(N)$ grupo a de la ecuación de Dirac es una Abelian de conexión cuya curvatura es sólo $\frac{N}{2}$ veces el Kähler estructura. En esta parte se da la vuelta $\frac{1}{2}$ carácter del fermión campos.

Answer 2

En general, la canónica bundle $K$ es el paquete de n-formas en un n-dimensional colector. Desde su superficie de Riemann $\Sigma$ es de un (complejo) dimensiones, es sólo la (línea) de paquete de holomorphic uno de los formularios. La "raíz cuadrada" $K^{\frac{1}{2}}$ es el paquete de cosas que se transforman en una forma que es una especie de la raíz cuadrada de la transformación de la holomorphic uno de los formularios. Así que si, en virtud de un worldsheet de transformación de coordenadas (donde $z$ es un local de coordenadas en $\Sigma$) $$z\rightarrow e^{i\alpha}z $$a one-form transforms as$$\omega\rightarrow e^{i\alpha}\omega $$ then, for the square root, we want something transforming as $$\psi\rightarrow e^{i\frac{\alpha}{2}}\psi $$ This is just a right handed worldsheet spinor. If it's a RH one, it's denoted $\psi_{+}$ and if, instead, it transformed with a $-\frac{\alpha}{2}$, it's LH and denoted $\psi_{-}$

Ahora usted también quiere que su entidad a tomar valores en el paquete de $\phi^{*}(TX)$.

$\phi:\Sigma\rightarrow X$ es una incrustación. El pensamiento de $\phi^{i}$; $i=1..N$ (donde $N$ es la dimensionalidad de $X$) como coordenadas en $X$, entonces su objeto deseado tiene un índice de espacio. Así por ejemplo, el de la mano derecha de versión de los componentes serían $\psi^{i}_{+}$, y la sección es $$\psi^{i}_{+}(z)\frac{\partial}{\partial \phi^i} $$