La pregunta es, esencialmente, todo en el título, ¿Cuál es la diferencia entre el rowspace y la columnspace?
Además, ¿tienen el mismo espacio de la solución?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tenía la esperanza de que la otra respuesta podría responder a todas sus preguntas, pero como estoy bastante seguro de que mi última respuesta a su última pregunta fue la fuente de esta pregunta (que es la forma correcta para que las cosas vayan mucho mejor que tratar de encajar todo en una pregunta).
En general, la fila de los espacios y espacios de columna pueden ser muy diferentes. Para los no de las matrices cuadradas, que será en otra dimensión ambiental de los espacios (a pesar de la dimensión del subespacio generado por cada uno será el mismo de la dimensión de este subespacio es generalmente llamado el rango de la transformación). Y esto es muy, muy diferente.
Ahora, cuando se refiere a 'los valores que puede configurar el sistema igual y tienen una solución válida para,' que implica más que simplemente una matriz. En particular, usted asume toda la ecuación, y esto es importante. Sospecho que usted se refiere a casos como el de $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c&d \\ e&f \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x\\ y \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$. En estos casos, la "conjuntos de $\left( \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$' que tienen soluciones, conocida como la Imagen de la transformación (es una palabra importante recordar la Imagen) es la columna de espacio. He utilizado un no-matriz cuadrada a mostrar una manera muy sencilla: la dimensión es incluso diferente.
Pero aquí es algo confuso: la Imagen no se ve afectada por operaciones elementales con sus filas. Whoa - eso es genial. Tal vez nonintuitive. En otras palabras, el conjunto de vectores que pueden ser "alcanzado" por esta matriz no cambia. Y aquí hay algo más importante: estas fila operaciones no cambian la solución para cada elemento de la Imagen. Es por eso que están tan grande - pero esto es raro. Cambiar las filas no afecta a la columna de espacio, y a pesar de que los coeficientes de x e y puede cambiar, estos directos solución para cualquier $x_1, x_2, x_3$ vector no cambia. Este es, creo, la parte confusa, debido a que la columna de operaciones de hacer el cambio de estas soluciones, aunque la Imagen en sí no es efectuado.
Entonces, ¿cómo hace uno para obtener un caso donde la columna de operaciones de no cambiar las soluciones a sí mismos? Por la izquierda de la multiplicación. $\left( \begin{array}{ccc} x & y & z \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c&d \\ e&f \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2\end{array} \right)$. Pero esto es algo que no solemos tocar - se ve divertido para mí, incluso. Por qué? Generalmente tratamos familiarizado con el derecho de la multiplicación y la transposición de las cosas si es necesario.
Muy bien, así que me dio una guía rápida a través de algunas de las ideas aquí. Ahora quiero recomendar algo para usted, por lo que se siente más real. Al igual que en la última pregunta, yo le aconsejo directamente a resolver el sistema antes y después de un par de cambios, os aconsejo probar nuevas y diferentes cambios, y ver si los vectores pueden todavía ser golpeado (todavía están en la imagen) y si pueden, a ver si las soluciones son las mismas. Entonces vas a tener una referencia rápida de sus pensamientos en acciones diferentes que usted puede intentar.
Yo no acababa de responder a su pregunta adecuada, pero traté de éxito en lo que yo creo que es el corazón de la cuestión. Es ese derecho?
Josh
Puntos
38
Creo que este : http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_linear_algebra debe responder a su pregunta y más.
Novarum
Puntos
29
El espacio fila de a es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores fila, por ejemplo, los vectores de la forma $$c_{1}row_{1} + c_{2}row_{2} +...+c_{m}row_{m}$$
Donde c es una constante y para algunos Un tal que $$A = \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{array} \right)$$
y $$r_{i} = \langle a_{i,1}, a_{i,2} ,\ldots a_{i,n}\rangle$$
La columna espacio es combinación lineal de los vectores columna de la misma matriz, por ejemplo, Un $$c_{1}col_{1} + c_{2}col_{2} +...+c_{m}col_{m}$$
para $$col_{i} = \langle a_{1,i} , a_{2,i} ,\ldots , a_{m,i}\rangle$$
En más de la llanura inglés, para cualquier matriz dada, hacer que los vectores de las columnas de cualquier matriz, y sumarlos con cualquier escalar multiplicador de cada vector (los escalares pueden ser diferentes para cada vector). El conjunto de vectores que se pueden crear a través de ese proceso es la columna espacio. La fila de espacio es la misma cosa, pero para los vectores fila.
