$u_{n+1}-u_n-u_n^2\to 0$ implica $u_n$ a $0$ o a $+\infty$

Question

Deje $u_n$ ser una verdadera secuencia tal que $\displaystyle u_{n+1}-u_n-u_n^2\to_{\infty} 0$.

Demostrar que $u_n\to 0$ o $u_n \to +\infty$

El progreso

• Si $u_n$ es acotado,

tiene un convergentes subsequence $u_{n_k}$ que va a $\beta$.

Por supuesto, $\displaystyle u_{n_k+1}\to \beta^2+\beta$

Esto demuestra que si $\beta$ es un punto de acumulación de a$u_n$, $\beta^2+\beta$ también es.

Esto obliga a $\beta \in (-2,0]$ (de lo contrario, la secuencia es no acotada)

Y en este caso, la iteración y el uso de la closedness del conjunto de la acumulación de puntos de los rendimientos que $0$ es un punto de acumulación de a $u_n$.

Que debo demostrar siguiente que $\beta=0$, pero no puedo.

EDIT: el punto crucial de que me perdí va hacia atrás (reescritura $u_n-u_{n-1}-u_{n-1}^2\to 0$), como Krokop hizo en su respuesta.

• Si $u_n$ es ilimitado,

$u_n$ tiene una larga que va a $+|-\infty$.

EDIT: esta parte todavía carece de un sofisticado y elegante a prueba de

Answer 1

Deje $E$ el conjunto de punto de acumulación de a $(u_n)$. Ya ha demostrar que $\beta^2+\beta\in E$

$u_n$ es acotado, uno puede extraer convergente larga de la secuencia de $u_{\phi(n)-1}$, y el límite de $\mu$ verifica $\mu^2+\mu=\beta$. Por lo $E$ es invariante bajo $f$. Donde $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $x\mapsto x^2+x$.

Deje $m=\inf E \quad\text{and}\quad M=\sup E$. Tenemos $f(M)\le M$$M=0$.

Por otra parte,

Si $\lambda\in E$ entonces no existe $\alpha\in E$ tal que $f(\alpha) = \alpha^2+\alpha = \lambda$ : Cada elemento de a $E$ es en la imagen de $f$,$m\ge\frac{-1}{4}$, e $[m^2+m,M^2+M] = f(E) = E = [m,M]$ porque $f$ es el aumento en $[\frac{-1}{4},0]$. Por lo $m^2 + m = m$$M^2 + M = M$. Por lo $m = M = 0$.

Por lo tanto, $E=\{0\}$ y el resultado de seguir.

Answer 2

La declaración de probar es el equivalente a decir que si $u_n$ no converge a $\infty$, entonces para todos los $\epsilon > 0$ hay un $N$ tal que para $n > N$ $$|u_n| < \epsilon \tag 1$$ Por otra parte, la condición de que $\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n+1} - u_n - u_n^2 = 0$ tiene la consecuencia de que para todos los $\eta > 0$ hay un $M$ que si $n > M$ $$u_{n+1} > u_n + u_n^2 - {\epsilon^2 \over 2} \tag 2$$ En particular, $(2)$ implica $$u_{n+1} - u_n > - {\epsilon^2 \over 2} \tag 3$$

Aquí está la prueba de que $(1)$ mantiene:

Supongamos $n > N,M$$u_n > \epsilon$. A continuación, $(2)$ dice que $u_{n+1} > u_n +{\epsilon^2 \over 2}$. Esto continúa con cada iteración y la secuencia se extiende hacia el infinito, que estamos suponiendo que no sucede.

Supongamos ahora$n > N,M$$u_n <-\epsilon$. A continuación, de nuevo $u_{n+1} > u_n + {\epsilon^2 \over 2}$ y la secuencia comienza a aumentar. Por $(2)$, sólo puede disminuir después de que el si $u_k^2 < {\epsilon^2 \over 2}$, en otras palabras, si $|u_k| < {\epsilon \over \sqrt{2}}$. Pero por $(3)$ la cantidad que se puede reducir es en la mayoría de las $\epsilon^2 \over 2$, y así que usted nunca estará por debajo de $-\epsilon$ nuevo; sólo puede ir tan lejos como ${\epsilon \over \sqrt{2}} - {\epsilon^2 \over 2}$ antes de que la secuencia comienza de nuevo. Por lo tanto, finalmente, $u_k$ se mantiene por encima de $-\epsilon$.

Answer 3

Haciendo ilimitado caso, por ahora.

Primero vamos a comprobar que $u_n$ no puede estar acotada por arriba. Si $u_n$ está acotada por debajo, a continuación, se realiza de manera supongamos $u_n$ no lo es. Fix $\epsilon >0$ y asumen $|u_{n+1}-u_n-u_n^2 |< \epsilon$ todos los $n >N$ algunos $N$. Para todos los $C>2$ existe $m \in \mathbb{Z}_{>0}$ s.t $u_M < -C$ y podemos suponer $m> N$. A continuación,$|u_{m+1}-u_m -u_m^2| < \epsilon$. La elección de $C$ lo suficientemente grande y lo $\epsilon$ lo suficientemente pequeño como podemos recopilar $u_{m+1}>C$.

De hecho, con esta construcción podemos demostrar que $(u_n)$ es aumentar el tiempo de la secuencia que no está acotado arriba, así que se debe tender a infinito.

Creo similares epsilon argumento debe trabajar para el primer caso así, pero yo no lo he probado todavía.

Answer 4

Voy a trabajar por absud:

Supongamos que $u_n\not\to0$$u_n\not\to+\infty$. Así que o $u_n\rightarrow\ell\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ o $u_n\rightarrow-\infty$.

• Supongamos que $u_n\rightarrow\ell\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$. Desde $u_{n+1}-u_n-u_n^2\rightarrow0$$\ell-\ell-\ell^2=0$. Por lo tanto, $\ell=0$.

  Absurdo.

  Por lo tanto, si $u_n$ converge debe converge a $0$.

• Si $u_n$ diverge, $u_n\rightarrow-\infty$, luego tenemos $$\lim_{n\to+\infty}u_{n+1}-u_n-u_n^2=\underbrace{u_{n+1}}_{\to-\infty}\;\;\underbrace{\underbrace{-\;u_n}_{\to+\infty}\;\;\underbrace{(u_n+1)}_{\to-\infty}}_{-\infty}=-\infty.$$ Absurdo.

  Por lo tanto, si $u_n$ diverge debe diverge a $+\infty$ .