¿Es posible convertir cualquier homomorfismo de grupo abeliano en un mapa lineal?

Question

Dejemos que $G$ y $H$ sean grupos abelianos y que $\varphi:G\rightarrow H$ sea un homomorfismo de grupo. ¿Podemos definir una multiplicación escalar no trivial en $G$ (de algún campo $F$ ) y otra multiplicación escalar no trivial en $H$ (de $F$ ), convirtiéndolos así en espacios vectoriales, de manera que $\varphi$ se convierte en un mapa lineal? Si la respuesta es afirmativa, ¿también funcionaría si hiciéramos $G$ y $H$ en módulos sobre algún anillo $R$ ?

Answer 1

Todo grupo abeliano es un $\mathbb{Z}$ -para que siempre podamos tratar $\varphi$ como un mapa lineal de $\mathbb{Z}$ -módulos.

Sin embargo, no siempre es posible considerar un grupo abeliano como un espacio vectorial sobre un campo. Por ejemplo, el grupo abeliano $\mathbb{Z}$ (con adición) no es un espacio vectorial sobre cualquier campo.

¿Por qué no? Bueno, supongamos que $\mathbb{Z}$ era (el grupo subyacente de) un espacio vectorial sobre un campo $k$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que $k$ debe tener la característica $0$ - si $k$ tenía las características $p\not=0$ entonces tendríamos $1+1+...+1$ ( $p$ veces) es igual a $0$ en $\mathbb{Z}$ .

Así que $k$ tiene la característica $0$ , lo que significa que $\mathbb{Q}$ es un subcampo de $k$ . (De hecho, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $k=\mathbb{Q}$ ). ¿Qué puede ${1\over 2}\cdot 1$ sea (donde el ${1\over 2}$ está en $k$ y el $1$ está en $\mathbb{Z}$ )? Cualquiera que sea el número entero, debe satisfacer ${1\over 2}\cdot 1+{1\over 2}\cdot 1=1$ . Pero no hay ningún número entero con esta propiedad.

Answer 2

Obsérvese que cualquier conmutativo $G$ es un $\Bbb Z$ -de forma natural: basta con definir $n \cdot g$ para ser $g^n$ . Comprueba que se cumplen las propiedades habituales de los módulos.

Ahora, si $\varphi$ es un morfismo de grupo, entonces $\varphi (g^n) = \varphi (g) ^n$ o en nuestro $\Bbb Z$ -notación de módulo: $\varphi (n \cdot g) = n \cdot \varphi (g)$ es decir $\varphi$ es $\Bbb Z$ -lineal.

Por otra parte, no todos los grupos pueden recibir una estructura de espacio vectorial. Por ejemplo, si $G$ es un grupo finito (escribirlo en notación aditiva) y $d = |G|$ y si $K \supseteq \Bbb Q$ entonces $d \cdot g = 0$ para todos $g \in G$ . Multiplicando por el escalar $\frac 1 d \in \Bbb Q$ daría $g=0$ .

Answer 3

Para registrar otro ejemplo, un espacio vectorial finito tiene orden una potencia de un primo. Así que si el orden del grupo abeliano $G$ no es una potencia de un primo, no se puede convertir en un espacio vectorial.

En realidad, aunque el grupo abeliano $G$ es de orden $p^{n}$ para algún primo $p$ entonces si se puede convertir en un espacio vectorial sobre un campo $F$ entonces también será un espacio vectorial sobre el campo con $p$ elementos. Y luego $p x = 0$ tiene que ser para todos $x \in G$ . A la inversa, si esta condición se cumple, entonces aunque $G$ no es finito, se puede convertir en un espacio vectorial sobre el campo con $p$ elementos.

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Adenda. Incluso si $G$ y $H$ se pueden convertir en espacios vectoriales, no siempre se da el caso de que $\phi$ puede hacerse lineal. De hecho, si $G$ y $H$ pueden convertirse en espacios vectoriales sobre un campo $F$ entonces se pueden convertir en espacios vectoriales sobre el campo primo $P$ contenida en $F$ Por lo tanto, sobre los racionales si $F$ tiene característica cero, sobre el campo con $p$ elementos si $F$ tiene la característica primera $p$ . Y cualquier homomorfismo de grupo de $G$ a $H$ será un $P$ -mapa lineal.

Pero tomemos por ejemplo $G = H = \mathbb{R}$ . Entonces el único $\mathbb{R}$ -mapas lineales de $G$ a $H$ son las multiplicaciones por un número real fijo. Mientras que hay muchos más homomorfismos de grupo de $G$ a $H$ , ver Bases de Hamel . Así que si usted hace $G$ y $H$ en espacios vectoriales racionales, todos los homomorfismos de grupo serán lineales. Si se intenta convertirlos en espacios vectoriales reales, esto ya no es así.

Answer 4

No CUALQUIER morfismo pf grupos permite esto, sin embargo mostraré una condición suficiente para que esto sea cierto.

En la siguiente pregunta

Demuestra que este homomorfismo da una definición equivalente de Espacio Lineal

proporcionamos una definición equivalente a espacio lineal, en términos de un homomorfismo del grupo producto de un campo, y el grupo de automorfismos de un grupo abeliano. Allí demostramos cómo este homomorfismo nos proporciona una definición de producto escalar, y los elementos del espacio vectorial son obviamente los elementos del grupo abeliano.

Dejemos que $G$ y $H$ se conviertan en espacios vectoriales de esta manera, y utilizando el mismo campo. Esto significa que tenemos dos homomorfismos $*_1:\mathbb K(\cdot)\rightarrow\{GfG\}$ y $*_2:\mathbb K(\cdot)\rightarrow\{HfH\}$ Aquí utilizamos $\{GfG\}$ para representar el grupo de automorfismos de $G$ . Sabemos que $*_1(a)$ para cualquier $a\in\mathbb K$ es un automorfismo de $G$ y esto define nuestro producto escalar, lo mismo ocurre con $*_2(a)$ .

Sabemos que $\phi(u+v)=\phi u+\phi v$ . Entonces, podemos decir que un functor (homomorfismo) $\phi:G\rightarrow H$ es un mapa lineal si se cumple la siguiente condición:

$$\phi\circ*_1(a)=*_2(a)\circ\phi$$ por cada $a$ en el campo. Esta condición significa simplemente $\phi(au)=a(\phi u)$ para cada elemento del campo.

En conclusión, si $G$ y $H$ pueden convertirse en espacios lineales mediante los homomorfismos $*_1:G\rightarrow\{GfG\}$ y $*_2:H\rightarrow\{HfH\}$ y si el morfismo $\phi$ conmuta con los morhpsims en $Im(*_1)$ , $Im(*_2)$ en el sentido que acabamos de aclarar, entonces podemos decir $\phi$ es una transformación lineal del espacio lineal $G$ en el espacio lineal $H$ .