¿Cuál es la suma de todos los positivos integral divisores de $540$?

Question

¿Cuál es la suma de todos los positivos integral divisores de $540$?

Mi enfoque: me convierte el número en la forma exponencial. Y se encontró fuera de la integral divisores que llegó a ser $24$. Pero no podía encontrar la suma...Algún truco?

Answer 1

Suponiendo que usted quiere saber la suma de los divisores de 540, es decir, $$ \sigma_1(540) = \sum_{d \mediados de 540} d $$ a continuación, puede calcular esta por mano de determinar todos los divisores de 540, o usted puede hacer esto un poco más inteligentemente.

Primero de todo, tenga en cuenta que $540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$. Ahora, uno de los felices hecho acerca de la función de $\sigma_1(n)$ es que si $n, m$ son relativamente primos, a continuación,$\sigma_1(n \cdot m) = \sigma_1(n) \cdot \sigma_1(m)$. En particular, $$ \sigma_1(540) = \sigma_1(4)\sigma_1(27)\sigma_1(5) $$ y por lo que sólo necesita para determinar a estos últimos. Pero para los números primos, $\sigma_1(p^k)$ es fácil de calcular. Es $$ \sigma_1(p^k) = 1 + p + p^2 + \cdots + p^k = \frac{p^{k+1} - 1}{p-1} $$ que permiten calcular la respuesta ahora.

Answer 2

La factorización prima de 540 es $2^2\cdot 3^3\cdot 5$. También la suma de los divisores de 540 es igual a: $$\begin{align} \sigma\left(2^2\cdot 3^3\cdot 5\right) &=\frac {2^3-1}{2-1}\cdot\frac{3^4 - 1}{3-1}\cdot \frac{5^2 -1}{ 5-1}\\ &=7\cdot 40\cdot 6\\ &= 1680 \end{align}$$