¿Por qué el finitismo no es una tontería?

Question

Esto es un producto derivado de esta pregunta reciente donde el concepto de ultrafinitismo surgió. Tenía la impresión de que finitismo era sólo "un antiguo movimiento filosófico" en matemáticas, sólo seguido por uno o dos hoy en día, por lo que me pareció una broma.

Pero luego me picó la curiosidad y, tras leer un poco, me parece que los únicos argumentos en contra matemáticas infinitas que parecen tener los finitistas son que "hay números tan grandes que no podríamos computar en una vida" o la paradojas de la teoría de conjuntos ingenua . Lo primero no parece un argumento serio, y lo segundo no es un problema ahora que las matemáticas se basan en axiomas consistentes.

¿Existe alguna (tal vez discutible) buena razón matemática para negar la existencia de $\infty$ ¿o es sólo una actitud filosófica? El concepto de ilimitado me parece bastante natural, así que ¿qué razón podría haber para evitarlo? ¿Tiene esta actitud algún sentido?

En resumen, por qué los financieros de hoy tienen un problema con $\infty$ ?

Editar: En primer lugar, muchas gracias por tus respuestas (y comentarios), han sido enormemente esclarecedoras :)

No sabía que " finitismo vs. infinitismo " era un tema tan polémico. Ahora bien, yo mismo estoy de acuerdo en que esta cuestión podría parecer principalmente basado en la opinión . Sin embargo, no era mi intención abrir un debate sobre "qué postura es mejor"; sólo quería preguntar sobre ¿qué razón matemática específica (argumentada y no basada principalmente en la opinión) tienen los finitistas para rechazar el uso del infinito por parte de los "infinitistas"? .

Basado en las dos excelentes respuestas que ya he tenido (gracias de nuevo :) Tengo entendido que su principal problema con el uso de $\infty$ es que conduce a resultados matemáticos (como el Paradoja de Banach-Tarski ) que no reconocen como verdad cuando se miran a través de las gafas de nuestra experiencia en el mundo real.

Edición final: Después de leer todas las respuestas y comentarios (especialmente Asaf Karagila de) he llegado a la conclusión de que no hay estrictamente matemático razón para evitar el uso del infinito. Que mi pregunta especificada en la última edición no tiene respuesta, y que la motivación para atenerse a finistas o infinitos La visión de las matemáticas depende de hasta qué punto uno espera que las matemáticas describan el "mundo real" de cada uno. Como Comodín La respuesta de la Sra. G. es la que mejor me aclara este asunto, por lo que la acepto. ¡Gracias de nuevo a todos por vuestras respuestas y comentarios!

Answer 1

No se sabe que la teoría de conjuntos moderna sea consistente; de hecho, por el Teorema de Incompletitud, nunca podremos tener un sistema de axiomas que podamos demostrar que es consistente. Lo que significa que la única condición en la que podemos confiar para determinar si un conjunto de axiomas es "correcto" es si produce o no resultados absurdos.

En $ZFC$ En el caso de los números naturales, tenemos diferentes tamaños de infinito - hay conjuntos que son más grandes que el conjunto de los números naturales en un sentido preciso. También tenemos muchas rarezas relacionadas con el Axioma de Elección - por ejemplo, con el Axioma de Elección, un teorema de Banach y Tarski afirma que una esfera hueca puede ser desmontada en cinco piezas y luego vuelta a montar ( sin estirando, rasgando o deformando los trozos) en dos esferas que son idénticas a la primera tanto en tamaño como en forma. Pero el axioma de la elección afirma simplemente que, dado un conjunto de conjuntos, podemos "elegir" un elemento de cada conjunto, lo que parece intuitivamente cierto.

Una perspectiva finitista sobre $ZFC$ es a menudo que resultados como la jerarquía de los cardinales infinitos y la paradoja de Banach-Tarski son absurdos - que deberían contar como contradicciones, porque están patentemente en desacuerdo con la imagen intuitiva de las matemáticas. La conclusión sensata es que uno de los axiomas de $ZFC$ se equivoca. La mayoría de ellos son intuitivamente obvios, porque podemos demostrarlos con conjuntos finitos - el único que no podemos es el de Infinito, que afirma que existe un conjunto infinito. Así que la conclusión de un finitista es rechazar el Axioma del Infinito. Sin ese axioma, $ZFC$ se convierte en algo puramente finito.

Ahora bien, muchos finistas se contentan con detenerse aquí. Pero a algunos les molesta el hecho de que sigamos teniendo una colección infinita de números naturales; el infinito sigue "existiendo", en cierto sentido, y da la oportunidad de que surjan las rarezas anteriores de la misma manera. Por eso, algunas personas (incluidos algunos matemáticos) se adhieren al ultrafinitismo e insisten en que sólo hay un número finito de números. Un matemático ultrafinitista que conozco define el mayor número entero como el mayor número entero que jamás será referenciado por los humanos.

Entre los matemáticos, los ultrafinitistas son mucho más raros que los finitistas simples. Los finitistas suelen estar de acuerdo contigo en que la "no limitación" es una idea natural -es esencial, por ejemplo, en la definición de un límite-. Pero insisten en que esto es sólo un formalismo, que un límite, por ejemplo, es sólo una declaración del comportamiento eventual, que implica sólo números finitos. Así que $\infty$ no es un objeto, es sólo una abreviatura. Esto es (al menos en mi opinión) más defendible matemáticamente que el ultrafinitismo.

EDIT: Ya que mucha gente parece tener dificultades con mi primera frase, pensé en aclararla. El Teorema de Incompletitud afirma que no podemos tener un conjunto de axiomas lo suficientemente potente como para expresar la aritmética y aún así ser capaces de demostrar su consistencia dentro del sistema . La razón por la que no incluí esta frase arriba es porque debilita innecesariamente el punto. Cualquier sistema de axiomas que pretenda codificar todas las matemáticas define la idea de "prueba"; si, por ejemplo, $T$ se pretende que sea la base de todas las matemáticas, entonces por "prueba" debemos entender "prueba en $T$ ". Con tal $T$ podemos decir que $T$ no se puede demostrar la consistencia en absoluto; porque por Incompletitud, cualquier prueba de la consistencia de $T$ no sería una prueba desde dentro $T$ pero $T$ se supone que es lo suficientemente potente como para que todo las pruebas son pruebas desde dentro $T$ . Por lo tanto: nunca podremos tener un sistema de axiomas para las matemáticas que podamos demostrar que es consistente, y punto.

Answer 2

Para añadir a La excelente respuesta de Reese En primer lugar, diré que no me considero finitista, pero puedo entender por qué los finitistas postulan como lo hacen, incluso los ultrafinitistas.

En primer lugar, para citar el Artículo de Wikipedia ya citado en un comentario (énfasis añadido):

Aunque la mayoría de los matemáticos no aceptan la tesis de los constructivistas de que sólo las matemáticas hechas a partir de métodos constructivos son sólidas, Los métodos constructivos son cada vez más interesantes por motivos no ideológicos. Por ejemplo, las pruebas constructivas en el análisis pueden garantizar la extracción de testigos, de tal manera que Trabajar con las limitaciones de los métodos constructivos puede hacer que encontrar testigos de las teorías sea más fácil que utilizar los métodos clásicos. También se han encontrado aplicaciones para la matemática constructiva en los cálculos lambda tipificados, la teoría de topos y la lógica categórica, que son temas notables en la matemática fundacional y la informática.

Ahora mi propia explicación del ultrafinitismo tiene menos que ver con creencia que la practicidad. Pero primero, un debate sobre las ideas en sí mismas.

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Los números, en definitiva, son ideas, como cualquier otro elemento de las matemáticas.

Dice usted (énfasis añadido):

¿Existe alguna (quizás discutible) buena razón matemática para niegan la existencia de ∞ ¿o es sólo una actitud filosófica? El concepto de ilimitación me parece bastante natural, ¿qué podría ser una razón para evitarlo?

Esta es una posición inherentemente subjetiva, y perfectamente válida: " I puede pensar en esta idea, así que ¿cómo puede alguien decir que esta idea no existe?"

Por supuesto, sería ridículo afirmar que el idea del infinito no existe. Se te acaba de ocurrir (pensar en ello), ¿no es así?

Seré ultrafinanciero por un momento y explicaré la posición.

No es que el infinito no existe como idea, es que no puedes señalar un infinito en ningún lugar del universo real. Todo lo que señalas es necesariamente finito, o no podrías señalarlo o demostrarlo.

Las matemáticas son todo ( todo ) basado en el trabajo con la simbolización de real o abstracto datos. Usted está tratando con ideas, fundamentalmente, y formas de representar esas ideas para resolver, comunicar o plantear problemas -de nuevo, reales o abstractos-.

Por favor, no te apegues tanto a un único sistema para las ideas y su simbolización que no reconozcas que pueden existir otras ideas fuera de ese ámbito.

Usted critica a los ultrafinitistas por no incluir el concepto de infinito en sus abstracciones y simbolizaciones. Muy bien, ¿por qué sus propias matemáticas no incluyen el concepto de "certeza"? ¿O de "conocimiento"? ¿O de "coexistencia" (que un mismo número tenga dos valores diferentes al mismo tiempo)? ¿O qué hay del propio "tiempo", ya que no está incluido en las matemáticas?

Si puedes trabajar con tus matemáticas y obtener resultados que funcionen, o incluso sólo que te parezcan interesantes, bien. Si yo puedo trabajar con mis matemáticas y obtener resultados diferentes a los tuyos, pero que me funcionan (producen un resultado deseado cuando se aplican al mundo real), estupendo.

Pero todo esto es más general, ya que cubre el amplio abanico de diferencias de las ideas matemáticas.

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Para responder a su pregunta precisa, y proporcionar la razón matemática "posiblemente buena" para omitir la consideración (no "negar la existencia") del infinito en un marco matemático, lo es:

Si se omite todo lo que no se puede observar directamente, y se abstrae sólo lo que puede ser observado, sus resultados se aplicarán uniformemente al universo observable.

Esta conclusión sólo puede ser demostrada por la observación del universo observable, no puede ser evolucionada teóricamente. Es en sí misma separar desde el enfoque de la evolución teórica de un conjunto de ideas, por lo que no puede medirse por el rasero de la postulación teórica de ideas.

Reflexiona un poco sobre eso. :)

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Incluso si hablo como ultrafinitista, seguiría diciendo que hay un infinito fáctico:

Los posibles ideas diferentes que puede concebir y plantear la mente humana es infinita.

Pero eso no hace que la idea de un infinito sea inherentemente superior a la idea de no infinito. ;)

Answer 3

Leopold Kronecker fue uno de los principales matemáticos de finales del siglo XIX. Kronecker discrepó radicalmente de las tendencias contemporáneas hacia la abstracción en las matemáticas, tal y como las seguían Cantor, Dedekind, Weierstrass y otros. En concreto, Kronecker rechazaba la noción de infinito completo. Muchos de los matemáticos actuales están tan acostumbrados a que la teoría de conjuntos sea "el fundamento" que les cuesta relacionarse con el punto de vista de Kronecker para empezar. Las ideas de Kronecker estaban cerca pero no idénticas a las ideas constructivistas modernas; así, Bishop, por ejemplo, podría aceptar el infinito real/completo, ya que al principio de su libro habla con naturalidad de las funciones $f$ de $\mathbb N$ a $\mathbb N$ . La dificultad que tenemos para relacionarnos con el punto de vista de Kronecker tiene que ver con nuestra formación. Recientemente, Yvon Gauthier trató de explorar la posición de Kronecker; véase en particular su

Gauthier, Yvon. Hacia una lógica aritmética. Los fundamentos aritméticos de la lógica. Estudios de lógica universal. Birkhäuser/Springer, Cham, 2015

y

Gauthier, Yvon. Kronecker en la matemática contemporánea, la aritmética general como programa fundacional. Rep. Math. Logic No. 48 (2013), 37-65.

Gauthier argumenta, en particular, que muchas de las aplicaciones en las que trabajó Kronecker pueden manejarse sin suposiciones infinitas superfluas que simplemente desordenan el panorama.

Answer 4

Si crees que el mundo natural es todo lo que existe, eso te convierte automáticamente en un ultrafinitista. Simplemente no hay espacio en el mundo físico para almacenar un número entero monstruosamente grande.

El axioma del infinito es obviamente falso cuando se toma literalmente en el mundo físico, por lo que si el mundo físico es todo lo que existe, entonces el axioma del infinito es falso.

Esto no significa que haya que rechazar ZFC o cualquiera de sus teoremas. Aunque Con(ZFC) (ZFC es consistente) no se ha demostrado en el sentido habitual de prueba, hay sin embargo muy buenas razones para creer en Con(ZFC). Se ha probado muy a fondo, tanto teórica como prácticamente, hasta el punto de que dudar de Con(ZFC) ya no es una postura razonable.

Con(ZFC) significa que todas las predicciones de ZFC que son comprobables en el mundo real deben ser creídas. No hay ningún problema en utilizar números reales y conjuntos infinitos para demostrar teoremas que luego se utilizan en predicciones meteorológicas y otros cálculos científicos. Con(ZFC) significa que en las predicciones comprobables, podemos confiar en las matemáticas.

Por eso debemos enseñar los teoremas derivados de ZFC sin reservas. Eso también significa: aceptar el teorema de Banach-Tarski, diferentes cardinalidades infinitas, etc. (no como "verdaderos" en el mundo físico, sino como teoremas de las matemáticas).

El ultrafinitismo es cierto en el mundo real. Sin embargo, ninguno de los teoremas basados en ZFC debería ser controvertido.

Los cálculos científicos suelen utilizar números aproximados de coma flotante. Es difícil demostrar afirmaciones limpias sobre tales objetos. Es mucho más fácil demostrar primero afirmaciones sobre números "reales" de precisión infinita (aunque en realidad no se correspondan con nada del mundo "real"). Los conjuntos infinitos y los números reales de precisión infinita son tan útiles que sería absurdo no trabajar con ellos, y la alta probabilidad de Con(ZFC) significa que se puede confiar en las matemáticas basadas en objetos infinitos.

Answer 5

Muchas respuestas de calidad aquí, pero voy a añadir mi punto de vista.

Estoy de acuerdo en que muchas defensas del finitismo son tontas o incompletas, pero hay un punto subyacente que es bastante válido e importante.

En mi opinión, el infinito como concepto no debería tener el mismo estatus epistémico que otras ideas matemáticas. Como se ha señalado en otro lugar, el concepto no puede defenderse fundamentalmente de forma empírica. Un matemático puro puede encogerse de hombros ante ese argumento; pero incluso dentro de los confines de las matemáticas, existen claras diferencias conceptuales. Las matemáticas que implican infinito no pueden describirse en un sistema que se demuestre libre de contradicciones; lo incompleto es una característica de las matemáticas que implican infinito; no de las matemáticas o de los sistemas formales per se.

Personalmente, no me impresionan en absoluto las llamadas "soluciones" modernas de la teoría de conjuntos a las propiedades del infinito conocidas desde la antigüedad. Hablando "ingenuamente", se podría pensar que la correspondencia 1 a 1 y la capacidad de construir un conjunto como subconjunto de otro serían axiomas igualmente buenos para decidir el tamaño relativo de los conjuntos. Ambos son observablemente ciertos, y deberíamos estar dispuestos a aceptar todas las conclusiones que puedan derivarse de cualquiera de los axiomas como verdades sobre el mundo real. El enfoque "moderno" consiste en observar que se puede suprimir uno de estos axiomas, eliminando así algunas contradicciones obvias relacionadas con el infinito, y entusiasmarse tanto con ello que se llega a la conclusión de que debe ser una buena idea, sin mucha más consideración.

La "paradoja" Banach-Tarski puede considerarse un resultado bastante directo de esta precipitada elección filosófica. No es una paradoja de las matemáticas modernas, por supuesto, pero desconcierta a mucha gente, porque a la mayoría, especialmente a los físicos, les gusta suponer que sus matemáticas tienen algo que ver con el mundo real.

La física debería funcionar identificando los axiomas que deben ser verdaderos y, a continuación, razonando sobre qué otras implicaciones tienen esos axiomas y comprobando si se cumplen en el mundo real. Lo que tenemos de hecho son nuestros mejores físicos (Feynman en concreto) burlándose de la paradoja de Banach-Tarski como una tontería, en lugar de salir y tratar de establecer un experimento para reproducirla (y esto último va para todos los físicos que conozco). Eso es un gran fallo epistemológico. Ahora bien, creo que el sentido común de Feynman da en el clavo, como siempre; pero si hay algunas conclusiones de las matemáticas que deberíamos tomarnos menos en serio que otras, me gustaría saber cuáles son; codificar esa intuición, por así decirlo.

Personalmente, las paradojas del infinito me resultan difíciles de sortear. Si divido un número por dos un número infinito de veces, ¿es cero? No, porque la no cerosidad se conserva al dividirlo por la mitad; sin embargo, tiene que serlo, ya que si es distinto de cero, lo he dividido una cantidad finita de veces. ¿Hay más números naturales que pares? Podría seguir, y creo que los argumentos a favor y en contra suelen ser igual de convincentes. Claro que se pueden "resolver" estos problemas mediante una redefinición "inteligente" de los términos y otras artimañas; pero invariablemente esto parece implicar abrir una brecha entre lo que se considera axiomáticamente cierto y cualquier obviedad empírica de tales axiomas.

Lo cual no sólo es malo para los usuarios físicos/empíricos de las matemáticas, sino que en general da un "sabor" a las matemáticas modernas que resulta desagradable para muchos. Bertrand Russel, que dio un gran impulso a la idea de que si reducimos las matemáticas al menor número posible de axiomas abstractos, todo irá de maravilla, en realidad renegó de la sensatez de hacerlo en sus últimos años. E imagino que estaría de acuerdo con las ideas posteriores de Quine sobre el holismo epistemológico. Es decir, la calidad de un axioma debería decidirse en función de su interacción con la totalidad de nuestra red de creencias; no en función de lo que el matemático puro o el lógico piensen que es "elegante" o queda bonito sobre el papel.

Personalmente, soy más partidario de un *enfoque paraconsistente del infinito (*supongo que se llama así, pero parece que significa muchas cosas para mucha gente). Es decir, prefiero un enfoque que acepte las contradicciones del infinito. Lo cual no significa que no puedas hacer matemáticas en absoluto; mucha gente sabía hacer matemáticas a lo largo de la historia mientras creía en las contradicciones del infinito, y no era porque fueran "ingenuos", sino porque tenían sentido común. De hecho, el principio de explosión no es más que un artefacto de la llamada lógica "clásica" (concretamente, el hecho de que no especifique una regla determinista para la búsqueda de símbolos). En realidad, en el siglo XXI no es tan difícil definir un lenguaje lógico robusto frente a las contradicciones, sin dejar de realizar deducciones sobre las cláusulas no contradictorias.

No sé qué significa eso para la "existencia" del infinito, pero me conformo con ese estado gris hasta que alguien pueda demostrarme empíricamente alguna de esas supuestas paradojas. Personalmente, me inclino a creer que la divisibilidad infinita del espacio es probablemente tan producto de nuestra imaginación como lo era la divisibilidad infinita de la materia hasta bien entrado el siglo XIX.

Esto es sobre todo un debate académico con pocas implicaciones prácticas al final. No creo que deba esperarse que yo (ni nadie con inclinaciones finitistas) llegue a conclusiones diferentes sobre ningún punto clave. Simplemente llegan a menos conclusiones. Y creo que la investigación sobre, digamos, el continuo de números reales es bastante valiosa; aunque discrepemos en cuanto a la paridad del último dígito de la raíz cuadrada de dos. Yo digo que la respuesta es par y no par; tú dices que no es un número racional y crees que eludir la cuestión así te hace menos "ingenuo". Soit.

Pero si yo fuera el zar de la ciencia mundial, definitivamente desfinanciaría cualquier investigación sobre la hipótesis del continuo, o cualquier cosa que implique jerarquías de infinitos. Les diría que dejaran de perseguir las implicaciones de las precipitadas suposiciones de Cantor y empezaran a hacer algo comparativamente útil para la sociedad, como resolver sudokus, por ejemplo.