Problemas divertidos de álgebra lineal

Question

Estoy enseñando un curso de álgebra lineal este trimestre (usando el libro de Lay) y me gustaría tener algunos "problemas de desafío" divertidos para dar a los estudiantes. Los problemas que busco deben ser fáciles de enunciar y tener una solución que

1. Sólo requiere conocimientos que se espera que tenga un estudiante medio de álgebra matricial (es decir, cálculo y álgebra lineal, pero no necesariamente álgebra abstracta).

2. Tiene una solución que requiere ingenio, pero no tanto como para que sólo los estudiantes con formación matemática de concurso sean capaces de resolver el problema.

Un ejemplo del tipo de problema que tengo en mente es:

Fija un número entero n>1. Sea S el conjunto de todas las matrices n x n cuyas entradas son sólo cero y uno. Demostrar que el determinante medio de una matriz en S es cero.

Gracias.

Answer 1

Uno de mis favoritos es el puzzle de impar-town.

Una ciudad con $n$ habitantes tiene $m$ clubes tales que

• Cada club tiene un número impar de miembros
• Dos clubes cualesquiera tienen un número par de socios comunes (incluido el cero)

Demostrar que $m \le n$ .

Resulta fácil una vez que se trata cada palo como un vector. Las condiciones implican que los vectores son linealmente independientes sobre $\mathbb{F}_{2}$ .

Answer 2

Este era un viejo problema de Putnam, pero si tus alumnos han visto los determinantes, no creo que esté más allá de ellos.

Alice y Bob juegan al siguiente juego: comienzan con una matriz vacía de 2008x2008 (p.d. adivina qué año fue) y se turnan para escribir números en cada uno de los $2008^2$ posiciones. Una vez rellenada la matriz, Alice gana si el determinante es distinto de cero y Bob gana si el determinante es cero. Si Alice va primero, ¿tiene alguno de los dos jugadores una estrategia ganadora?

Answer 3

Podrías construir sobre este problema para demostrar que el álgebra lineal puede aplicarse a cosas que no parecen álgebra lineal a primera vista. Podrías elegir estados iniciales y finales con factorizaciones primarias sencillas de forma que sea fácil encontrar la solución una vez que hayas transformado al eigensistema. Supongo que habrá que dar una pista que apunte a cómo pensar en esto en términos de álgebra lineal.

Answer 4

Tienes 13 monedas con números reales en ellas, de tal manera que dada cualquier moneda, las otras 12 se pueden dividir en dos grupos de 6 cada uno, de tal manera que la suma de números de un grupo es igual a la suma de números del otro.

Demuestra que todas las monedas tienen los mismos números.

Esto está en el ámbito de aplicación, creo.

¡Una prueba de ello consiste en construir una matriz y demostrar que su rango es 12, utilizando Derangements! (Aunque hay otras formas de demostrar que el rango es 12).

Answer 5

Me gusta la pregunta 17 de http://www.dpmms.cam.ac.uk/study/IB/LinearAlgebra/2010-2011/lin_alg-10-4.pdf :

Dejemos que $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sean números reales tales que $a_1 + \cdots + a_n = 0$ y $a_1^2 + \cdots a_n^2 = 1$ . ¿Cuál es el valor máximo de $a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_{n - 1}a_n + a_na_1$ ?