Contraseña de 4 dígitos con dígitos únicos no en orden ascendente o descendente

Question

Necesito calcular cuántas contraseñas posibles hay si cada contraseña tiene 4 dígitos, utilizando los dígitos 0-9. Todos los dígitos de la contraseña deben ser únicos, y no pueden ser todos ni crecientes ni decrecientes. Por ejemplo, "3569" no está permitido, porque los dígitos están en orden creciente, mientras que "1374" está permitido

Sé que una contraseña de cuatro dígitos puede ser cualquier cosa entre 0000 y 9999, de ahí que haya 10.000 combinaciones. Pero ahora estoy atascado averiguando cómo calcular el número de todas las contraseñas posibles que son únicas, ni crecientes ni decrecientes. He intentado calcular el número posible de contraseñas si cada dígito sólo puede utilizarse una vez: $$P(n,r)=\frac{10!}{(104)!}=\frac{10987654321}{654321}=5040$$ Pero ahora estoy muy seguro de que esta es la respuesta a la pregunta? Si no es así, ¿cómo debo calcular dicha pregunta?

Answer 1

Como ya has comprobado, hay $^{10}P_4=5040$ contraseñas que no repiten ningún dígito.

De este número hay que restar las contraseñas cuyos dígitos son todos crecientes o todos decrecientes. Todas estas contraseñas pueden ser generadas escogiendo cuatro dígitos de los diez sin importar el orden - hay $\binom{10}4=210$ formas de hacerlo - y luego organizarlos en orden creciente o decreciente según sea necesario. Como tenemos dos opciones de orden, restamos $210\cdot2=420$ contraseñas.

Por lo tanto, hay $5040-420=4620$ contraseñas con dígitos únicos que no son todos crecientes o todos decrecientes.

Answer 2

Hay $\binom{10}4$ formas de seleccionar $4$ dígitos distintos.

Con la condición de que no haya aumento ni disminución pueden disponerse en $4!-2$ formas.

Eso da un total de: $$\binom{10}4\left(4!-2\right)$$ posibilidades.