Aunque la esencia ya se ha dicho, permítanme tratar de dar un enfoque gráfico lineal de los mapas. A menudo, cuando usted obtenga la imagen mental de una construcción, las propiedades caen en su lugar.
PS: Huy, Que resultó ser mucho. Espero que no es una mala cosa que la respuesta a su pregunta en el último párrafo, sólo. Espero que esto sea útil para alguien, aunque.
Además, espero no hacer cualquier declaración falsa aquí considerando más de dimensiones finitas.
La definición
Vamos $V$, $W$ ser espacios vectoriales sobre un campo $F$. Un mapa de $f: V → W$ se llama lineal, si:
$∀x, y\in V: f(x+y) = f(x)+f(y)$
$∀x \in V, λ \in F: f(λx) = λf(x)$.
¿Qué lineal del mapa?
La primera cosa importante aquí es que ellos mapa de espacios vectoriales en espacios vectoriales. Pueden ser cualquier cosa, así que esto por sí solo no sirve de mucho. Podrían ser algo diferentes de espacios vectoriales? Bien, si no fuera, nuestras declaraciones no tendría mucho sentido: el uso de la multiplicación escalar y, además, que son operaciones sólo se define en espacios vectoriales. Hasta ahora nada interesante por aquí.
Usted puede, sin embargo, de inmediato se pregunta: "¿Qué es la imagen de un lineal mapa?", o, "¿de qué manera los cambios/transformaciones $f$ el espacio $V$$W$?".
¿Qué puede hacer este subconjunto de $W$? Por ejemplo, si $V=ℝ^3, W=ℝ^3$, puede que la imagen de la esfera? Obviamente no, ya que para cada vector de $w = f(v)$ en la imagen, se puede ampliar el parámetro de $w$ y obtener una versión a escala $f(λv) = λf(v) = λw$. Esto limita en gran medida lo que la imagen cualitativamente parece!
De hecho, si usted sigue un argumento similar para la conservación de la adición, usted puede conjetura: La imagen en sí misma es un espacio vectorial!
Prueba (en aras de la exhaustividad)
Deje $x, y\in f[V], λ\in F.$, con Lo que nos encontramos con $v\in V: x=f(v)$$w\in V: y = f(w)$. Ahora, $x+y=f(v)+f(w)=f(v+w)$, lo $x+y$ está en la imagen. Similar obtenemos $λx = λf(v) = f(λv)$ $λx$ en la imagen. QED.
Y ahora?
El hecho de que la imagen es un espacio vectorial de ser un subconjunto de un espacio vectorial $W$, es decir, un vector del subespacio de $W$, la ayuda de la intuición: por ejemplo, en $ℝ^3$, subespacios vectoriales se ${0}$, líneas y planos por el origen, y $ℝ^3$ sí. Así que de alguna manera, $f$ transforma un espacio vectorial $V$ a un subespacio de $W$. Por el momento, no sabemos una cosa importante, sin embargo: ¿qué tan "grande" que este subespacio? Podemos decir algo acerca de la dimensión? Si no, podemos encontrar algunas restricciones como superior/límite inferior?
El truco: no se ven en todo el espacio
Vamos a suponer $V$ $W$ tiene una base, y, para facilitar la escritura de cantidades más fácil, para ser finito dimensionales. Entonces podemos expresar los elementos de estos espacios como la suma de los vectores de la base que se ajustan a una cierta cantidad, es decir, como la "tupla de coordenadas", que son dichas cantidades. El (único, bijective) mapa de las coordenadas de tuplas a los vectores que se llama el "isomorfismo".
Veamos un vector $x=f(v)$ en la imagen de $f$. La elección de cualquiera ordenó base $(b_n)_n$$V$, se puede escribir como: $x = f(v) = f(\sum_{i=1}^n b_i v_i)$.
Nosotros "ampliado", el vector $v$ en la preimagen mirando las bases por separado ($v_i$ son los coeficientes con respecto a nuestra base $b_i$).
Ahora, la preservación de la suma y la multiplicación escalar viene muy bien: podemos mover la suma de un nivel!
$$x = f(v) = \cdots = \sum_{i=1}^n v_i f(b_i)$$
Esto es realmente una gran cosa! Ahora sabemos que cualquier elemento de la imagen puede ser descrito como combinaciones lineales de las imágenes de la base de elementos en $V$ (o: se encuentra en el lapso de la imagen de la base) – o, para decirlo de otra manera: Si usted sabe que la imagen de la base de los elementos, usted sabe que la imagen de todo el espacio.
Una vez tengo esto, me imaginé a todos (finito-dimensional, bueno, para ser honesto, 3-dimensional) lineal mapa por medio de una base en el lado izquierdo y la imagen de la base en el lado derecho.
Esto le da inmediatamente una restricción: La dimensión de la imagen al menos puede no ser mayor que $\dim V$, ya que es atravesado por $\dim V$ (no necesariamente linealmente independiente de vectores. Puede ser menos? Sí, si las imágenes de la base de vectores son linealmente dependientes: Considere por ejemplo el mapa de $$f: ℝ^3→ℝ^3, (x, y, z)↦ (x+z, y+z, 0)$$
Se asigna a $e_x, e_y$ a sí mismos, sino $f(0, 0, 1)=(1, 1 0)$. Así que la base de la preimagen mapas a tres vectores de cada acostado en la $x-y$-Avión – en otras palabras, son linealmente dependientes, y abarcan un subespacio no de dimensión 3, pero de dimensión 2.
Su Pregunta
Para responder a tu pregunta: Sí, mapas puede, de hecho, mapa de mayores dimensiones de los espacios. Por ejemplo,$f: ℝ^n→ℝ^n+k, (x_1, …, x_n)↦(0, 0, …, x1, …, x_n)$.
La dimensión de su imagen (también llamado "rango"), sin embargo, no se puede tener una dimensión superior. Por lo tanto, si usted mapa a una dimensión superior, su mapa no puede ser surjective más.
De la matriz y determinante
Usted podría darse cuenta de que si es o no las imágenes de la base de vectores son linealmente independientes, es un factor importante para determinar cualitativamente la naturaleza de esta función (la palabra hunden en un momento: deter-e... te suena?). Considere la posibilidad de inyectividad: Si un espacio n-dimensional se transforma en un $m<n$dimensiones, puede el mapa aún ser inyectiva? La intuición grita "no"! Pero permítanme omitir una prueba aquí.
Vamos a escoger una base para cada una de las $\dim V=n$$\dim W=m$, y solo se preocupaba por la tupla de la representación de los vectores (acostado en $F^n$$F^m$, respectivamente).
Las imágenes de los vectores de la base ahora se pueden escribir como una tupla. Ver esta tupla como una columna de números y poner estas tuplas cerca uno del otro – ahora usted tiene una cosa de la altura de la $m$ y la anchura $n$ – en realidad, una $m \times n$ matriz. La Idea de las matrices que son, vagamente hablando, coordinar las representaciones del finito-dimensional lineal mapas.
Si ahora considere el $V$ $W$ a ser de la misma dimensión, por lo que nuestra matriz se convierte en plaza.
Ahora podemos pensar en el determinante,,, el n-dimensional firmado el volumen de la imagen de la unidad de hipercubo. Si las 3 dimensiones de la unidad de cubo es "aplastado" en la imagen de los vectores de colocación en un plano, es de 3 dimensiones, el volumen es cero – que esperemos que le da algo de intuición, mientras que aparentemente cada teorema de álgebra lineal es equivalente a $\det M = 0$.
Pero echa un vistazo a esta respuesta y, especialmente, esta respuesta – que hacen un Trabajo excelente en hacer el determinante más accesible.
