Demostrar una desigualdad integral $|\int\limits_0^1f(x)dx|\leq\frac{1-a+b}{4}M$

Question

Dejemos que $f$ sea una función diferenciable sobre $[0,1]$ et $a,b\in(0,1)$ tal que $a<b$ , $\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_b^1f(x)dx=0$ . Demuestra que: $$\left|\int_0^{1} f(x)\,dx\,\right|\leq\frac{1-a+b}{4}\,M$$ donde $M=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f'(x)|$ .

Answer 1

Desde $f$ es continua, debe tener ceros en ambos intervalos $[0,a]$ et $[b,1]$ . Por el Teorema del valor medio deducimos que $$ |f(a)| \leq Ma,\qquad |f(b)| \leq M(1-b). $$

Por el Teorema del valor medio de nuevo, existe $c \in (a,b)$ tal que $$\frac{1}{b-a}\left[\int_a^bf(x)dx - \frac{1}{2}(b-a) [f(a)+f(b)]\right] = -(c-\frac{a+b}{2})f'(c). $$ Por lo tanto, $$ \left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \frac{b-a}{2} \left(|f(a)| + |f(b)| + (b-a)M\right) \leq \frac{b-a}{2}M. $$ La conclusión se desprende del hecho de que $b-a < 1$ implica $\frac{b-a}{2} < \frac{b-a + 1}{4}$ y $$ \int_0^1 f(x)dx = \int_a^b f(x)dx. $$