¿Si $\int_0^\infty {e^{-\lambda t}f(t){\rm d}t} = 0$ % todo $\lambda >0$y $f=0$ a.e.?

Question

Estoy estudiando un documento en el que el autor utiliza algo como eso:

Que $f$ ser un acotado y la función medible Lebesgue. Si \int_0^\infty $ {e ^ {-t \lambda} f (t) \, t {\rm d}} = 0 \qquad\text{for todos} \qquad \lambda \gt0$$ then $f=0$ casi en todas partes.

¿Me podría apuntar a una prueba de este teorema? Es muy importante para mí.

¡Gracias!

Answer 1

Esto es bastante fácil de demostrar con Dynkin del sistema multiplicativo teorema:

Teorema. Supongamos $H$ es un espacio vectorial de acotado medible funciones en algunos medibles espacio de $X$, que contiene las constantes y es cerrado bajo delimitada pointwise convergencia de las secuencias (es decir, si $f_n \in H$, $f_n \to f$ pointwise, y $|f_n| \le C$ todos los $n$,$f \in H$). Supongamos $M \subset H$ es cerrado bajo pointwise multiplicación, y deje $\mathcal{G}$ $\sigma$- álgebra generada por $M$ (es decir, el más pequeño de $\sigma$-álgebra en $X$ que hace todas las funciones de $M$ medibles). A continuación, $H$ contiene todos los delimitada $\mathcal{G}$medible de funciones.

La afirmación parece complicado, pero la prueba es de primaria, y se pueden encontrar, por ejemplo, en el Capítulo II.8 de estas notas, junto con otras referencias.

Ahora para demostrar su teorema, tome $X = (0,\infty)$ con su Borel $\sigma$-álgebra. Se nota que es suficiente para mostrar $g(t) := e^{-t} f(t) = 0$.e. ($g$ es integrable, lo que es más conveniente.)

Deje $H$ ser el conjunto de todos los acotado medible funciones de $h$ tal que $\int_0^\infty h(t) g(t) dt = 0$. $H$ es claramente un espacio vectorial que contiene las constantes, y es cerrado bajo delimitada convergencia gracias a el teorema de convergencia dominada.

Deje $M$ ser el conjunto de todas las funciones de la forma $h(t) = e^{-\lambda t}$ donde $\lambda > 0$. Por supuesto, $M \subset H$, e $M$ es claramente cerrado bajo la multiplicación.

Por último, considere la posibilidad de la $\sigma$-álgebra $\mathcal{G}$ generado por $M$. Tenga en cuenta que para cualquier $h \in M$ y cualquier intervalo abierto $(a,b) \subset \mathbb{R}$, por definición,$h^{-1}((a,b)) \in \mathcal{G}$. Tomando $h(t) = e^{-t}$ $(a,b) = (e^{-d}, e^{-c})$ vemos que $(c,d) \in \mathcal{G}$. Desde $\mathcal{G}$ contiene todos los intervalos abiertos debe ser el Borel $\sigma$-álgebra de $(0, \infty)$.

Así que por Dynkin del teorema, $H$ contiene todos los delimitada Borel medible de funciones en $(0, \infty)$. En particular, contiene ${g}$! Esto significa que $\int_0^\infty g(t)^2 dt = 0$, por lo que claramente $g = 0$.e.

El sistema multiplicativo teorema es realmente una versión funcional de los más conocidos $\pi$-$\lambda$ teorema, y actúa como una especie de medibles-función analógica de la Piedra-teorema de Weierstrass. He usado aquí como una especie de anuncio, ya que creo que el teorema merece ser más conocida dado lo útil que puede ser.

Yo también voy a comentar que la prueba funciona igual de bien si sólo suponemos que $\int_0^\infty e^{-\lambda t} f(t) dt = 0$ para grandes valores de $\lambda$. Los valores enteros de a $\lambda$ sería suficiente.

Answer 2

Parece que el resultado que estás buscando se llama Lerch del Teorema - en esencia, si dos funciones tienen la misma transformada de Laplace (o lineal de transformación integral), a continuación, su diferencia es un valor nulo de la función; es decir, su integral se desvanece. En su caso, una de las dos funciones es simplemente el cero de la función; ya que su transformada de Laplace es (trivialmente) idéntica a cero, entonces cualquier función cuya transformada de Laplace es también idéntica a cero debe diferir de la misma por un null función - o en otras palabras, debe ser un valor nulo función de sí mismo; es entonces (¡por definición!) cero.e.