¿Cuál es la opinión general sobre la hipótesis del continuo generalizada?

Question

Yo soy de la comunidad wikiing esto, ya que aunque no quiero que sea un hilo de discusión, no creo que realmente hay una respuesta correcta a esta.

Por lo que he visto, el modelo de los teóricos y lógicos, son en su mayoría se opuso a la GCH, mientras que en el otro extremo del espectro, algunos análisis funcional depende de la GCH, por lo que es mucho mejor tolerada entre analistas funcionales. De hecho, me considero muy mucho +GCH por un tiempo, pero Joel y Francois señalar algunas cosas interesantes acerca de cómo forzar axiomas, (de los más poderosos se oponen directamente a la CH).

¿Cuál es la opinión general sobre el GCH en la comunidad matemática (reemplazar GCH con CH cuando sea necesario)? ¿Le pasa a ser que el CH/GCH no vienen a menudo en el álgebra?

Por favor, no publicar solo post "estoy de acuerdo con +-CH". Me gustaría conocer su valoración de la matemática de la opinión de la comunidad. Tal vez sus experiencias con los matemáticos saben, etc. Incluso sus propias experiencias o en la opinión de trabajo. Simplemente no estoy interesado en tener 30 o 40 una línea de respuestas. Básicamente, yo no estoy buscando una encuesta.

Edit: GCH=Generalizada Hipótesis continua CH= Hipótesis continua

CH se dice que $\aleph_1=\mathfrak{c}$. Es decir, el sucesor, el cardenal de $\aleph_0$ es el continuo. La forma generalizada (GCH), dice que para cualquier infinita cardenal $\kappa$ tenemos $\kappa^+=2^\kappa$, es decir, no hay cardenales estrictamente entre $\kappa$ y $2^\kappa$.

Edición 2 (Harry): se ha Cambiado la redacción acerca de la FA. Si aún así, no es cierto, y se puede mejorar, siéntase libre de editar el post a ti mismo y cambiar.

Answer 1

Definitivamente hay un no-CH tendencia entre los teóricos con un sólido Platónico doblada, y mi impresión es que este es el más común. Muchos de estos teóricos creen que el gran cardenal de la jerarquía y el acompañamiento de la uniformización consecuencias están apuntando hacia nosotros, hacia el final, la verdadera teoría de conjuntos, y que los diferentes obligando a los axiomas, tales como la PFA, MM, etc. son una parte de ella.

Otro gran grupo de los teóricos que trabajan en el área de interior modelo de la teoría de GCH en todos los principales modelos que estudian, y respecto GCH como uno de los atractivos de la regularidad de las características de los interiores de los modelos.

Hay un pequeño grupo de teóricos (entre los cuales me incluyo) con un multiverso perspectiva, que toman el punto de vista de que la teoría de conjuntos es realmente acerca de los estudios en todos los universos posibles que podamos vivir en, y el estudio de sus inter-relaciones. Para este grupo, el CH pregunta es en gran medida resuelta por el hecho de que entendemos de una manera muy profunda de cómo mover la fom CH universos a la no-CH universos y viceversa, por el método de forzamiento. Cada una de ellas es denso en un sentido en la colección de todo el conjunto de la teoría de los universos.

Answer 2

Aquí es una respuesta histórica de las clases. Estoy buscando a una copia de un espíritu-duplicado cuestionario, de fecha 1 de agosto de 1967, que fue distribuido en el AMS-ASL 1967 en el Instituto de Verano en la Teoría de conjuntos Axiomática. La notación "80 votos" es pencilled, en vez de en forma descuidada. El recuento de los votos para cada respuesta es firmado por una persona con cuidada caligrafía. El cuestionario se divide en tres partes. La parte I se acerca medibles cardenales, y la parte III es sobre de primer orden de la teoría de números. Voy a citar a la parte II, que trata sobre la hipótesis continua. (Sería interesante saber si este estudio ha sido publicado en alguna parte.)

II. R. yo creo que la proposición de

"La hipótesis continua CH es cierto en el universo real de'juegos de

es

$\quad$(42) significativas $\quad$ (35) sin sentido

$\ \ $B. (Para ser respondida sólo si su respuesta a la IIA es 'significativas')

$\ \ \ \ \ \ $(2) creo que CH es casi cierto
$ \ \ \ \ \ \ $(2) creo que CH es más probable que la verdadera que falsa
$ \ \ \ \ \ \ $(12) creo que CH es más probable falsa que verdadera
$ \ \ \ \ \ \ $(14) creo que CH es casi seguro falsas
$ \ \ \ \ \ \ $(12), no tengo idea si CH es verdadera o falsa.
$\ \ $B'. (Para ser respondida sólo si su respuesta a la IIA es "sin sentido")

$\ \ \ \ $(1) Mi posición sobre IIA

$\quad\quad$(2) ¿$\quad$(33) no

$ \ \ \ \ \ \ $poner en duda en mi mente sobre el valor de la teoría de conjuntos.

$\ \ \ \ $(2) me inclino a pensar que la teoría de conjuntos basados en la continuidad
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $hipótesis está destinado a jugar en el futuro desarrollar-
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ción de las matemáticas una

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $(11) papel más importante que
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $(13) el papel de igual importancia con
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $(11) función menos importante que

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $la teoría de conjuntos basados en la negación de la hipótesis continua.

$\ \ $ C. Suponiendo que el ser humano matemáticos todavía existe, entonces, yo creo que
$ \ \ \ \ \ \ \ $en 2067 de la opinión prevaleciente entre ellas será que el continuum
$ \ \ \ \ \ \ \ $problema:

$ \ \ \ \ $(4) ha sido resuelta por el descubrimiento de los generalmente aceptados de nuevo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $axiomas o métodos de prueba de que la hipótesis continua es
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $una consecuencia
$ \ \ \ \ $(18) ha sido resuelta por el descubrimiento de los generalmente aceptados de nuevo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $axiomas o métodos de prueba de que la negación de la continuidad
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $hipótesis es una consecuencia
$ \ \ \ \ $(37) ha sido resuelta por la general aceptación de la creencia de que
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $no hay una verdadera teoría de conjuntos y que la hipótesis continua
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $simplemente sostiene que en algunas teorías y no en otros
$ \ \ \ \ $(11) está aún sin resolver

Answer 3

Después oscila furiosamente en la década de 1960 y 1970, el medidor continuo de Berkeley se estableció en $2 ^ {\aleph_0} = \aleph_2$ para una gran parte de la de 1980 y 1990 con inmersiones ocasionales a $2 ^ {\aleph_0} = \aleph_1$. Estas inmersiones comenzadas cada vez más fuerte en la última década, estoy empezando a sospechar una Crisis que encoge de cardenal... Alguien llame Al Gore!

Answer 4

Entre el grupo de matemáticos, que es el que conozco mejor, categoría teóricos, una actitud común es la siguiente. (G)CH no es ni verdadera ni falsa. Es algo que un modelo de (cualquier colección de) los axiomas de la teoría de conjuntos puede o no puede satisfacer --- y eso es todo. Así que ser "pro" o "anti" no tiene sentido. Si hay un Dios-dado el modelo de la teoría de conjuntos, entonces podríamos preguntarnos si (G)CH era verdad, pero no la hay.

(Probablemente estoy proyectando aquí, pero incluso si esto no es una opinión mayoritaria entre los teóricos de la categoría, estoy bastante seguro de que es la más común.)

No estoy al tanto de cualquier trabajo en la categoría de teoría que depende de (digamos) un topos de la satisfacción o la violación (G)CH. Mi ignorancia no significa mucho, sin embargo.

Answer 5

Creo que se debe señalar que, mientras que muchas personas que trabajan en teoría de conjuntos tienen una opinión fuerte sobre el CH (con sensación de muchos es "false"), generalmente no tienen sentimientos fuertes contra GCH por encima de $\aleph_0$. GCH es decir, no una declaración polémica que implica CH.