Similitud de matrices reales sobre $\mathbb{C}$

Question

$A \underset{\mathbb{C}}{\sim} B \overset{\text{def}}{\iff} A=C^{-1}BC, \space C\in M_{n}(\mathbb{C})$ y de forma similar para $\underset{\mathbb{R}}{\sim}$ .

Quiero demostrar que $ A \underset{\mathbb{C}}{\sim} B$ para $A,B \in M_{n}(\mathbb{R})$ por lo tanto $A \underset{\mathbb{R}}{\sim} B$ .

Mi idea es que los divisores elementales de $A,B$ en $\mathbb{C}$ son iguales, y si $(x-z)^k$ es divisor elemental que $(x-\overline{z})^k$ es también divisor elemental $\implies$ $A,B$ tienen los mismos divisores elementales sobre $\mathbb{R}$ . Pero creo que no está claro.

Answer 1

Si $ A \underset{\mathbb{C}}{\sim} B$ hay una matriz $C \in GL_n(\mathbb{C})$ tal que $A=C^{-1}BC$ .

Así que $CA=BC$ .

$C=P+iQ$ con $P,Q \in M_n(\mathbb{R})$ .

Si $A \in M_n(\mathbb{R})$ y $B \in M_n(\mathbb{R})$ tenemos $CA=BC \implies (P+iQ)A=B(P+iQ)\implies PA=BP$ y $QA=BQ$ .

El polinomio $\det (P+XQ)$ no es nulo, porque $\det(P+iQ)=\det C \neq 0$ .

Por lo tanto, hay un valor $\lambda \in \mathbb{R}$ tal sombrero $\det(P+\lambda Q) \neq 0$ .

Dejemos que $D=P+\lambda Q$ , $DA=BD$ porque $PA=BP$ y $QA=BQ$ .

Así que, $A=D^{-1}BD$ y $A \underset{\mathbb{R}}{\sim} B$