¿Lo que ' s el mínimo de $\mu (1-\mu)/ \sigma^2$ sobre todas las distribuciones unimodales continua en un intervalo acotado de $[0,1]$?

Question

Cumplir con todas las distribuciones en un intervalo acotado de $[0,1]$:

$$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$$

donde $\mu$ es la media y $\sigma^2$ la varianza.

Ahora suponga que la distribución es unimodal, en el sentido de que tiene a más de un máximo local. Cuál es el valor mínimo que puede tener la siguiente proporción:

$$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$$

Answer 1

Un mínimo no existe. Sin embargo, un infimum. De ello se desprende del hecho de que

El supremum de la varianza de las distribuciones unimodales definido en $[0,1]$ con media de $\mu$ es $\mu(2 - 3\mu)/3$ ($0 \le \mu \le 1/2$) o $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ ($1/2\le \mu \le 1$).

El supremum en realidad es alcanzado por una distribución que, aunque no tiene una función de densidad-puede seguir (en un estado generalizado) ser pensado como "unimodal"; no se tiene un átomo en $0$ (al $\mu \lt 1/2$) o el de un átomo en $1$ (al$\mu \gt 1/2$), pero de otro modo que ser uniforme.

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Voy a esbozar el argumento. La pregunta que se nos pide para optimizar un funcional lineal

$$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$$

sujeto a diversos igualdad y desigualdad de las restricciones, donde $D[0,1]$ es el conjunto de (firmado) medidas en el intervalo de $[0,1]$. Para diferenciable $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ cualquier función continua, definir

$$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$$

y extender $\mathcal{L}$ a todos los de $D[0,1]$ por la continuidad.

Las restricciones de igualdad son

$$\mathcal{L}_1[F] = 1$$

y

$$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$$

Las restricciones de la desigualdad son los que

$$f(x) \ge 0$$

y existe $\lambda \in [0,1]$ ("modo") tal que para todos los $0\le x \le y \le \lambda$ y todos los $\lambda \le y \le x \le 1$,

$$f(x) \le f(y).$$

Estas limitaciones determinan un convexo de dominio $\mathcal{X}\subset D[0,1]$ más que $\mathcal{L}_{x^2}$ es para ser optimizado.

Como con cualquier problema de programación lineal en un espacio de dimensión finita, los extremos de $\mathcal{L}_g$ alcanzado en los vértices de $\mathcal{X}$. Estas, evidentemente, son las medidas, absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, que son seccionalmente constante, debido a que los vértices están donde casi todas las desigualdades se convierten en igualdades: y la mayoría de estas desigualdades están asociados con la unimodality de $F$ (sin aumento de la cola de comportamiento).

Con el fin de satisfacer las dos restricciones de igualdad necesitamos hacer una sola pausa en la gráfica de $f$, digamos en un número $0\lt \lambda \lt 1$. Dejar que el valor de la constante en el intervalo de $[0,\lambda)$ $a$ y el valor de la constante en $(\lambda, 1]$$b$, un fácil cálculo basado en las restricciones de igualdad rendimientos

$$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$$

Esta cifra lo dice todo: es una gráfica de los localmente constante de la función de distribución de media de $\mu$ con un solo break en $\lambda$. (La trama de $f_{(\lambda,\mu)}$ $\mu \gt 1/2$ se ve como la reversión de este.)

El valor de $\mathcal{L}_{x^2}$ a de estas medidas (que voy a denotar $f_{(\lambda, \mu)}$, la densidad de una distribución $F_{(\lambda, \mu)}$) es apenas como fácilmente calculada a ser

$$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$$

Esta expresión es lineal en $\lambda$, lo que implica que es maximizada en $0$ (cuando $\mu \lt 1/2$), $1$ (al $\mu \gt 1/2$), o en cualquier valor (al $\mu = 1/2$). Sin embargo, excepto cuando se $\mu=1/2$, los valores límite de las medidas de $f_{(\lambda, \mu)}$ ya no continua: la correspondiente distribución de $F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$ o $F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$ tiene una discontinuidad de salto en $0$ o $1$ (pero no ambos).

Esta figura gráficos óptimos $F$ para una media de $\mu \approx 2/5$.

Independientemente, el valor óptimo es

$$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$$

En consecuencia, el infimum de $\mu(1-\mu)/\sigma^2$ $0\le \mu \lt 1/2$ es

$$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$$

con una expresión comparable al $1/2\lt \mu \le 1$ (obtenido mediante la sustitución de $\mu$$1-\mu$).

Esta figura ilustra la supremum $\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$ frente al $\mu$.