Restricciones topológicas a la cardinalidad

Question

Por lo que sé, un espacio polaco (completamente metrizable) tiene una cardinalidad como máximo de $\mathbb R$ . La suposición de completitud puede omitirse aquí, porque una compleción de un espacio separable metrizable es polaca. Por otra parte, sin separabilidad la cardinalidad del espacio puede ser mayor que la de $\mathbb R$ - podemos dotar a cualquier conjunto de una topología discreta.

Mi pregunta es la siguiente: ¿puede un espacio topológico separable tener la cardinalidad mayor que la de $\mathbb R$ ?

Answer 1

Sí: $\beta\omega$ es un espacio separable de cardinalidad $2^{2^\omega}=2^\mathfrak{c}$ . Hay una prueba completa en esta respuesta a una pregunta anterior.

Suponiendo que el espacio separable $X$ es $T_2$ es un límite superior de su cardinalidad. Sea $D$ sea un subconjunto denso contable. Para cada $x\in X$ dejar $\mathscr{D}(x)=\{D\cap V:V\text{ is an open nbhd of }x\}$ . Entonces $\mathscr{D}(x)$ es una familia de subconjuntos de $D$ Así que $|\mathscr{D}(x)|\le 2^\omega=\mathfrak{c}$ . Si $x,y\in X$ y $x\ne y$ , nbhds disjuntos de $x$ y $y$ tienen trazos disjuntos en $D$ Así que $\mathscr{D}(x)\ne\mathscr{D}(y)$ . Así, $$|X|=|\{\mathscr{D}(x):x\in X\}|\le|\wp(\wp(D))|=2^{2^\omega}=2^{\mathfrak c}\;.$$

Añadido: Originalmente había escrito que $T_1$ la separación era suficiente, pero como señala t.b., esto es falso: la topología cofinita sobre un conjunto de cualquier cardinalidad es un compacto separable, $T_1$ topología.

Answer 2

Depende de si requiere que los axiomas de separación se mantengan (regularidad, Hausdorff, etc.)

Si simplemente requiere separabilidad, deje que $X$ sea un conjunto tan grande como se quiera, junto con la topología trivial.

Arreglar cualquier $x\in X$ . Ahora, por cada $y\in X$ y un entorno abierto $U$ de $y$ tenemos que $x\in U$ . Por lo tanto, $\operatorname{cl}(\{x\})=X$ .

Del mismo modo se puede considerar la topología de todos los conjuntos $U$ tal que $U=\varnothing$ o $x\in U$ . En esta topología $\{x\}$ también es denso.

En ambas topologías tenemos una densa singleton .