¿Se considera el cero como un escalar?
En otras palabras, ¿es $\begin{bmatrix}0\\0\\\end{bmatrix}$ un múltiplo escalar de $\begin{bmatrix}a\\b\\\end{bmatrix}$ donde $a$ y $b$ son números reales?
Sí, cero es un escalar.
Para que las personas que lean esto puedan aprender algo, resulta que el término "escalar" fue utilizado por primera vez por François Viète en su libro Analytic Art (traducido de In artem analyticem isagoge). Él llamaba escalar a dos cosas si estaban relacionadas proporcionalmente entre sí (hablando en términos generales).
La primera vez que se usó "escalar" en inglés aparentemente fue por Hamilton, aunque él lo utilizó para referirse a la parte "real" de un cuaternión, es decir, la $t$ en la notación estándar $t + xi + yj + zij$.
Divertido, nunca lo había pensado como "multiplicar el escalar por el vector", siempre como "multiplicar el vector por el escalar".
Depende de si se define como una función en $K\times V$, en $V\times K$, o en la unión, $K$ siendo el campo y $V$ el espacio vectorial. En el último caso, sí, es conmutativa. :)
Tal como dicen las otras respuestas, $0$ es en efecto un escalar, y $0 {\scriptstyle \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}} = {\scriptstyle \begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}}$ es en efecto un múltiplo escalar de ${\scriptstyle \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}}$. Más precisamente, cualquier cuerpo o anillo de escalares sobre el cual estén definidas tus matrices, seguramente tiene un elemento cero, el cual convencionalmente denotamos con "$0$".
Sin embargo, vale la pena notar que el símbolo $0$ también se usa a menudo para denotar una matriz nula, es decir, una matriz cuyos elementos son todos cero. Por lo tanto, uno podría por ejemplo escribir $AB = 0$, donde $A$ y $B$ son matrices, para indicar que el producto matriz de $A$ y $B$ contiene puros ceros. Esto no suele causar ambigüedad, ya que es claro en el contexto qué tipo de entidad representa el símbolo $0$ en cada caso. (De manera similar, a menudo usamos $I$ para denotar "la" matriz identidad, sin especificar explícitamente las dimensiones de esta matriz identidad particular.) Otra justificación para esta notación es que, en el anillo de matrices de matrices cuadradas $n \times n$, la matriz cero $n \times n$ es en efecto el elemento cero del anillo.
Algunos autores podrían usar por ejemplo un "$\mathbf 0$" en negrita o un "$\underline{\underline 0}$" subrayado en lugar de un simple "$0$" para representar una matriz nula, especialmente si siguen una convención para resaltar todos los símbolos de matrices de la misma manera. De manera similar, un vector cero podría (en contextos donde se hace una distinción entre vectores y matrices fila/columna) ser denotado por ejemplo como "$\vec 0$" en lugar de un simple "$0$". Sin embargo, muchos autores, especialmente en textos más avanzados, no se molestarán con tales convenciones y simplemente esperarán que deduzcas qué tipo de objeto representa "$0$" a partir del contexto.
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$0$ es un escalar.
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Quizás la confusión radica en el término 'múltiplo escalar', que no significa un escalar que es un múltiplo, sino más bien un vector que es un múltiplo (donde el multiplicador es un escalar) de otro, de manera similar a cómo un espacio vectorial complejo no suele estar compuesto de números complejos. No es muy probable la razón aquí, pero solo ofreciendo una opinión.