¿Cómo podemos definir la norma de $L^p$ de una distribución templada?

Question

Estoy terminando una clase en función de la teoría y estoy tratando de conciliar un par de declaraciones que he visto.

Definamos $L^p(\mathbb R^n)$ a ser el conjunto de funciones medibles $f$, de modo que $\int_{\mathbb R^n} |f|^p dx < \infty$, con la norma $||f||_p = \Big(\int_{\mathbb R^n } |f|^p dx\Big)^{1/p}$.

También he visto escrito que $L^p(\mathbb R^n)$ es el conjunto de todas las distribuciones templado $f \in S'$ satisfacción $ ||f||_p < \infty$. Aquí $S$ es de la colección de la rápida disminución de complejo de funciones con valores en $\mathbb R^n$, e $S'$ es el espacio de lineal continua y funcionales en $S$ (templado distribuciones).

Me gustaría mostrar que estas dos definiciones "son los mismos". Sin embargo, estoy en una situación de desventaja, ya que no quiero ni ver cómo definir el $||\cdot||_p$ norma en el espacio de templado de distribuciones.

Por lo tanto, ¿cómo podemos definir el $L_p$ norma de una base de distribución?

Answer 1

Las distribuciones de actuar en el espacio $\mathcal{D}$ de las funciones de prueba (infinitamente diferenciable con soporte compacto). Para todos los $p$ sostiene que $\mathcal{D}\subset L^p$ y, por lo tanto, tiene sentido tomar la $p$-norma las funciones de prueba para cualquier $p$. Ahora toma un poco de $p$ y su conjugado $q$ ( $p+q=pq$ ). Para cualquier distribución $T$ podemos definir $$ \|T\|_p = \sup\{ T(\phi)\ :\ \|\phi\|_q\leq 1\} $$ que puede o no puede ser finito.

Tenga en cuenta que esto produce la $p$ norma de una función de $f$ cuando se aplica a la distribución inducida por $f$.

Answer 2

No se puede definir la $\|\cdot\|_p$ en todo el espacio de templado de distribuciones. En general, si $T$ es una distribución, por el valor de $\|T\|_p$ sentido, tenemos que identificar la $T$ con una función definida en $\mathbb{R}^n$. Hay algunas distribuciones que no puede ser identificado con las funciones. Por otro lado, las distribuciones que pueden ser identificadas con las funciones y satisface $\|T\|_p<\infty$, constituyen el espacio de $L^p$.

Considerar, por ejemplo, la Distribución de Dirac $\delta$. Si se va a identificar a $\delta$ con la función$f$, $f(x)=0$ en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $f(0)=\infty$ y $\int_\mathbb{R} f(x)dx=\infty$. Así, se puede ver que la noción de distribución, se generaliza la noción de función.