Orientación de $X \times Y$

Question

Supongamos que $X$ no es orientable. ¿Cómo puedo mostrar que $X \times Y$ nunca es orientable, no importa de qué colector $Y$ puede ser?

He intentado suponiendo que $X \times Y$ es orientable, entonces usando ese $\pi\colon X\times Y\to X$ la proyección primera es preservar mapa, $X$ orientación sería orientable. Pero algo no suena bien.

Answer 1

Aquí está una prueba en el buen ajuste. Uno de los (muchos) definiciones equivalentes de orientability es la siguiente: Vamos a $M$ ser un suave conectado el colector, $p:\tilde M\to M$ es su cobertura universal y $G$ el grupo de cubrir las transformaciones. Tenga en cuenta que $\tilde M$ siempre es orientable. A continuación, $M$ es orientable si y sólo si $G$ preserva orientación en $\tilde M$.

Supongamos ahora que $M$ es no orientable y deje $g\in G$ ser una orientación de la inversión del elemento, es decir, con respecto a la orientación del atlas en $\tilde M$, el determinante Jacobiano $J_g$ es negativo. Ahora, considere otro conectado suave colector $N$ y universal de la cubierta de la $\tilde N$ y el grupo de cubrir las transformaciones $H$. A continuación, la universalización de la cobertura de $M\times N$ es $\tilde M \times \tilde N$ y el grupo de cubrir las transformaciones es $G\times H$ donde cada elemento de a $G$ actúa en $\tilde N$ a través de la asignación de identidad. Calcular el determinante Jacobiano de $$ (g,Id): \tilde M \times \tilde N\a \tilde M \times \tilde N$$ obtenemos que es igual a $J_g$, es decir, es negativo. Por lo tanto, $M\times N$ es no orientable.

Ahora puede terminar la prueba en caso de $M$ o $N$ no está conectado.

La misma conclusión vale para topológica de los colectores, pero la prueba es un poco más complicado (que usted necesita saber Kunneth fórmula y homológica interpretación de orientability).