15 votos

Integral indefinida $\cos x/(1+x^2)$

He estado trabajando en la integral indefinida de $\cos x/(1+x^2)$.

$$ \int\frac{\cos x}{1+x^2}\;dx\text{ or } \int\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx $$

¿son irresolubles (imposible de resolver) o hay una manera de resolver ni siquiera por aproximación?

Muchas gracias.

12voto

Matthew Scouten Puntos 2518

No hay ninguna primaria antiderivada para cualquiera de esos.

Es realmente más fácil tratar con $e^{ix}/(1+x^2)$. Como corolario de un teorema de Liouville, si $f e^g$ tiene primaria antiderivada, donde $f$ $g$ son funciones racionales y $g$ no es constante, entonces tiene una antiderivada de la forma $h e^g$ donde $h$ es una función racional. Para que esto sea una antiderivada de $f e^g$, lo que necesitamos es $h' + h g' = f$.

Ahora con $f = 1/(1+x^2)$$g = ix$, la condición es $h' + i h = 1/(1+x^2)$. El lado derecho tiene un polo de orden $1$$x=i$. En orden para el lado izquierdo para tener un polo, $h$ debe tener un polo, pero dondequiera $h$ tiene un polo de orden $k$, $h'$ tiene un polo de orden $k+1$, por lo que la izquierda nunca puede tener un polo de orden $1$.

6voto

fcop Puntos 2891

$\int\dfrac{\sin x}{1+x^2}dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!(x^2+1)}dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2(2n+1)!(x^2+1)}d(x^2+1)$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(x^2+1-1)^n}{2(2n+1)!(x^2+1)}d(x^2+1)$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^nC_k^n(-1)^{n-k}(x^2+1)^k}{2(2n+1)!(x^2+1)}d(x^2+1)$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^kn!(x^2+1)^{k-1}}{2(2n+1)!k!(n-k)!}d(x^2+1)$

$=\int\left(\dfrac{1}{2(x^2+1)}+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^kn!(x^2+1)^{k-1}}{2(2n+1)!k!(n-k)!}\right)d(x^2+1)$

$=\int\left(\dfrac{1}{2(x^2+1)}+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{2(2n+1)!(x^2+1)}+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(-1)^kn!(x^2+1)^{k-1}}{2(2n+1)!k!(n-k)!}\right)d(x^2+1)$

$=\int\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2(2n+1)!(x^2+1)}+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(-1)^kn!(x^2+1)^{k-1}}{2(2n+1)!k!(n-k)!}\right)d(x^2+1)$

$=\int\left(\dfrac{\sinh1}{2(x^2+1)}+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(-1)^kn!(x^2+1)^{k-1}}{2(2n+1)!k!(n-k)!}\right)d(x^2+1)$

$=\dfrac{\sinh1\ln(x^2+1)}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(-1)^kn!(x^2+1)^k}{2(2n+1)!k!k(n-k)!}+C$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X