¿Cuando son lisas esquemas de Hilbert?

Question

Sé que los esquemas de Hilbert pueden ser muy singulares. ¿Pero hay alguna esquemas de Hilbert interesantes y no triviales que son lisas? ¿Existen condiciones necesarias o suficientes condiciones para un esquema de Hilbert a ser liso?

Answer 1

Una muy conocida condición es que el esquema de Hilbert de una suave superficie es lisa. Como señaló David a continuación, el esquema de Hilbert de una curva suave es suave y es igual a la clave de producto (ya que k[t] tiene sólo una dimensión finita cociente de cada dimensión).

No sé de otros ejemplos, pero una de las versiones de la Ley de Murphy en la geometría algebraica es aproximadamente "si usted no tiene una buena razón para que un esquema de Hilbert a no ser horrible, va a ser tan horrible como usted puede imaginar."

Answer 2

Aquí es otro ejemplo de un buen esquema de Hilbert. Deje $X$ ser un suave grado 3 hipersuperficie en el espacio proyectivo de dimensión $n \geq 3$ (es decir, más de un algebraicamente cerrado de campo), y deje $H$ ser el esquema de Hilbert de líneas en $X$ (es decir, correspondiente polinomio de Hilbert $t + 1$).

El espacio de la tangente a $H$ a un punto de $[L]$ (correspondiente a una línea de $L$$X$) $H^0(L, N)$ donde $N$ es normal en el paquete de $L$$X$. El rango de $N$ $n - 2$ y el grado de $N$ $2n - 6$ (se puede ver esto mirando el estándar de la tangente y paquete normal paquete de secuencias). Cada vector paquete en la $L = \mathbb{P}^1$ se divide en la suma directa de la línea de paquetes. A continuación, el grado de cada rango 1 sumando de a $N$ es en la mayoría de los 1 ($N$ inyecta en la normal paquete de $L$$\mathbb P^n$) y, a continuación, usted puede demostrar que ninguna pieza puede tener grado menor que $-1$. Esto nos permite concluir que $H^1(L, N) = 0$. Esto significa que $H$ es suave en el punto de $[L]$ (véase, por ejemplo, Kollár del libro Racional Curvas Algebraicas Variedades, Capítulo 1, donde se explica la infinitesimal comportamiento del esquema de Hilbert). Como esto es cierto para cualquier línea de $L$$X$, el esquema de Hilbert es suave.

El mismo argumento funciona para las líneas de un suave Quadric. En el mismo libro, Kollár demuestra que para un general de grado $d$ hipersuperficie $X$$\mathbb P^n$, el esquema de Hilbert de líneas en $X$ es suave.

Answer 3

No sé de muchas de las condiciones generales de un esquema de Hilbert de ser suave/singular. Ben respuesta probablemente se da el ejemplo más interesante de un buen esquema de Hilbert, es decir, el esquema de Hilbert de n puntos sobre una superficie lisa.

Aquí hay dos ejemplos más de lisa Hilbert esquemas.

1) El esquema de Hilbert de hypersurfaces de grado d en el PP^n. Tal hypersurfaces son parametrizadas por homogéneos de grado d polinomios en n+1 variables, y por lo tanto, este esquema de Hilbert es un espacio proyectivo de dimensión n+d seleccione d.

2) El esquema de Hilbert de lineal subpsace de la dimensión d del PP^n. Esto es sólo el Grassmanian Gr(d+1,n+1).

Answer 4

El esquema de Hilbert de n puntos en un 3-fold no es liso para n suficientemente grande, pero se desconoce el valor exacto del suficientemente grande. Consulte el capítulo sobre los sistemas de Hilbert en "Álgebra conmutativa Combinatorial", de Miller y Sturmfels.