Uno de mis amigos es tomar un primer curso de álgebra lineal ahora, y uno de los problemas en su última tarea fue explicar por qué $\mathbb{R}^2$ $\{(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^3 \mid a_3 = 0\}$ son diferentes. Estaba confundido, y realmente no podía encontrar una respuesta. Yo le dije que el último es de alguna manera similar a la anterior (la clase no ha cubierto isomorphisms) pero en realidad se compone de diferentes "puntos" de otro "espacio". Su idea de una prueba para decir que usted no puede agregar elementos de la antigua a los elementos de la última (derivada del hecho de que uno tiene una tercera coordenada y el otro no), por lo que no puede ser el mismo espacio, pero esto en realidad no llegar a la naturaleza de las cosas. ¿Cómo hago para explicar la diferencia para él?
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Si $\mathbb{R}^2$ y $$\{(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3|a_3=0\}$$ are not different, then surely $\mathbb{R}^2$ and $$\{(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3|a_2=0\}$$ are not different either, because why would it matter which direction we chose to be $z$? So, you'd expect $$\{(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3|a_3=0\}\cap \{(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3|a_2=0\}$$ to be $\mathbb{R}^2$ too, but it should be easy to agree that $\mathbb{R}^2$ no es una línea.
Permítanme ofrecer una analogía:
Si usted mira se establece desde el punto de vista estructural se podría concluir que el único "estructura" de un conjunto es el número de elementos. De hecho si nos fijamos en la categoría de teoría, todos los conjuntos del mismo tamaño "isomorfo". En otras palabras, sólo son diferentes en el nombre de la cosa que contiene.
Así que si sólo mira la característica de un conjunto, como un "conjunto" se podría decir {plátano,cereza,manzana} es el mismo que {$x$,$x^2$,$\mathbb R$}. aunque claramente no son la misma, los conjuntos tienen la misma estructura, la única diferencia es que los objetos tienen nombres diferentes.
Lo mismo sucede en el ejemplo de los espacios vectoriales son el mismo, la única diferencia es el nombre de los elementos, demostrando que los elementos son distintos, es simple. Para demostrar que los espacios son "el mismo"(también llamado isomorfo) encontrar un bijection donde las operaciones se conservan.
Que $A \subseteq \mathbb{R}^3$ denotan el subconjunto de interés. Entonces $A$ básicamente es igual a «$\mathbb{R}^2$ + alguna información adicional que le dice cómo $\mathbb{R}^2$ se encuentra en $\mathbb{R}^3$.»
Para enfatizar la diferencia, trate de pedir tu amigo: "¿Qué es el complemento de $A$? Fácil pregunta, porque sabemos que el contexto en que $A$ vidas; por lo que su complemento es $\mathbb{R}^3\setminus A$. Luego pregúnteles, ¿qué es el complemento de $\mathbb{R}^2$? No tan una fácil pregunta, que. De hecho, el complemento de $\mathbb{R}^2$ es indefinido.
