¿Qué relación hay entre pi y los números primos?

Question

Vi un vídeo que decía que la probabilidad de que los enteros gaussianos sean relativamente primos es una expresión en $\pi$ y también sé sobre $\zeta(2) = \pi^2/6$ pero me pregunto qué más conexiones hay entre $\pi$ y los números primos?

Answer 1

Aquí está un ejemplo de una forma de uso de $\pi$ a demostrar la infinitud de los números primos sin calcular su valor, o el uso de la relativamente profundo hecho de que $\pi$ es irracional, pero a partir de los conocimientos de $\zeta(2)$ y $\zeta(4).$ Supongamos que sólo hay un número finito de números primos de $ 2= p_{1}, 3= p_{2}, \ldots, p_{k-1},p_{k}.$ A partir de las fórmulas de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}$ y $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}} = \frac{\pi^{4}}{90}$, podemos concluir después de la moda de Euler que (respectivamente) tenemos: $\prod_{j=1}^{k} \frac{p_{j}^{2}}{p_{j}^{2}-1} = \frac{\pi^{2}}{6}$' y $\prod_{j=1}^{k} \frac{p_{j}^{4}}{p_{j}^{4}-1} = \frac{\pi^{4}}{90}.$ El cuadrado de la primera ecuación y dividiendo por el segundo lleva rápidamente a $\prod_{j=1}^{k} \frac{p_{j}^{2}+1}{p_{j}^{2}-1} = \frac{5}{2}$, entonces $5\prod_{j=1}^{k} (p_{j}^{2}-1) = 2 \prod_{j=1}^{k}(p_{j}^{2}+1).$ Esto es una contradicción, ya que el producto de la izquierda es, sin duda divisible por $3 dólares, mientras que cada término en el extremo derecho del producto, salvo que por $j = 2$ es congruente a $-1$ (mod 3), por lo que obtener $0 \equiv (-1)^{k}$ (mod 3), lo cual es absurdo. (Agradecería si alguien sabe de referencia para una prueba como esta. No puedo creer que yo soy la primera persona que lo pienso de ella).

Answer 2

Una fórmula que, sin duda, pertenece aquí la vinculación de $\pi$ y el de los números primos es $$2.3.5.7...=4\pi^2.$$ Esto es obtenido a través de un zeta de regularización de una manera similar a la más conocida de $\infty!=\sqrt{2\pi}$ (véase aquí para una breve discusión de este). Sin embargo, para encontrar el producto de los números primos, se usa el primer zeta función $$\sum_{p\; prime} \frac{1}{p^s}$$ que tiene el desafortunado propiedad de tener una infinidad de singularidades entre 0 y 1, que rompe la norma de procedimiento de regularización. E. Muñoz García y R. Pérez Marco de eludir este problema (literalmente) con la adición de una variable adicional y tomando el límite de una dirección diferente.

Answer 3

La probabilidad de que dos números enteros Gaussian son relativamente privilegiadas es /(\pi^2 K) $6 = $ 0.66370080461385348\cdots, donde $K = 1 - \frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$ (constante de catalán). No hay ninguna expresión simple conocida para $K$ en $\pi$. Ver http://www.springerlink.com/content/y826m64747254t87.

Answer 4

Bueno, en primer lugar, $\pi$ no es sólo un número real aleatorio. Casi cada número real es trascendental entonces, ¿cómo podemos hacer que la noción de "$\pi$ es especial" (en un número teórico-sentido) más precisa?

Empezar por darse cuenta de que $$\pi=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}$$ Esto ya nos dice que $\pi$ tiene algo que ver con los números racionales. Puede ser expresada como "un número complejo cuya parte real e imaginaria son los valores de absolutamente convergente de las integrales de funciones racionales con coeficientes racionales, más dominios en $\mathbb{R}^n$ dada por el polinomio de desigualdades con coeficientes racionales." Tales números son llamados períodos. Volviendo a la identidad $$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$$ Hay una muy buena prueba de ello (que en un principio parece muy poco natural) debido a Calabi. Se muestra que $$\frac{3\zeta(2)}{4}=\int_0^1\int_0^1\frac{dx\,dy}{1-x^2y^2}$$ mediante la ampliación de la correspondiente serie geométrica, y luego evalúa la integral $\pi^2/8$. (Así que sí, $\pi^2$ y todos los otros poderes de $\pi$ períodos.) Pero la historia no termina aquí, ya que se cree que no son verdaderamente profundas conexiones entre los valores de las funciones zeta (o L-funciones) y ciertas evaluaciones que implican períodos, tales como $\pi$. Otro famoso problema de los números primos es Sylvester problema de que los números primos se puede escribir como una suma de dos racional de los cubos. Así en el estudio de la curva elíptica $$E_p: p=x^3+y^3$$, y quiere saber si hay una solución racional, el valor central de la correspondiente L-función nuevamente involucran $\pi$ a algún factor entero y algún factor de Gamma. Siguiente, los períodos son también los valores de múltiples funciones zeta: $$\zeta(s_1,s_2,\dots,s_k)=\sum_{n_1>n_2>\cdots>n_k\geq 1}\frac{1}{n_1^{s_1}\cdots n_k^{s_k}}$$ Y también aparecen en otras muy importante conjeturas como la de Birch y Swinnerton-Dyer conjetura. Pero, por supuesto, todo esto es muy difícil de explicar sin el uso adecuado de la terminología, el lenguaje de los motivos , etc. Así pues, sin embargo, esta respuesta no significa mucho, es tratar de mostrar que hay una respuesta a su pregunta, y si estudias mucho de la moderna teoría de números, que sólo podría ser satisfactoria :-).

Answer 5

Hay algunas fórmulas relacionadas con $\pi$ funciones aritméticas. Por ejemplo, si $\sigma(n)$ es la suma de los divisores de $n$, entonces $\sum_1^n\sigma (n) = \pi^2n^2 / 12 + $O (n\log n). Si $d(n)$ es el número de divisores de $n$, entonces $\sum_1^ {\infty} n ^ {-2} d (n) = $ \pi^4/36. Si $\phi(n)$ es la función phi de Euler, \sum_1^n\phi $(n) = 3n ^ 2\pi ^ {-2} + $O (n\log n). Estos que aparecen todos en la sección 3.5 de Eymard y Lafon, el número $\pi$.