¿Cuál es el logaritmo de la mirada de la identidad como en un grupo de mentira?

Question

Deje $G$ ser un equipo compacto, conectado Mentira grupo con elemento de identidad $e$ $\mathfrak g$ su Mentira álgebra. Consideremos el conjunto $$ L=\{A\in\mathfrak g\setminus\{0\};\exp(A)=e\}. $$ La mayoría de los nombre descriptivo para este conjunto que me podía venir es el logaritmo de la identidad (o el conjunto de los logaritmos), de donde el título de esta pregunta.

Pregunta: ¿Qué significa el conjunto de $L$ aspecto en general? En particular, cuando es su proyección radial a la unidad de la esfera en $\mathfrak g$ surjective? Y cuando no es surjective, tiene densa de la imagen?

El surjectivity pregunta puede reformularse más geométricamente: Es cada geodésica en $G$ periódico? (Si desea una explícita métrica en $G$, tomar cualquier bi-invariantes de Riemann.) Tengo una vaga sensación de que la respuesta podría ser algo estándar resultado, pero no lo pude encontrar. Si alguien se ha encontrado con este conjunto de antes o sabe cómo adjuntar algunas útil de la estructura, yo estaría feliz de escuchar. El conjunto $L$ es, obviamente, cerrado bajo la multiplicación por cero enteros, pero que no es una gran cantidad de estructura todavía.

Para los dos grupos de $G_1$ $G_2$ $G=G_1\times G_2$ tenemos $L=(L_1\cup\{0\})\times(L_2\cup\{0\})\setminus\{(0,0)\}$ y de manera similar para obtener más grupos. Desde el caso de tori se da a continuación, el análisis de todos los simple Mentira grupos debería ser suficiente.

Algunos se preguntaba en los comentarios por qué me excluido el cero a partir de $L$. La razón de esto es la aplicación que tengo en mente (integrante de la geometría en la Mentira de los grupos, consulte mi segundo comentario más abajo), pero esto no es del todo importante. Si alguien puede dar una buena descripción de $L\cup\{0\}$, lo que, obviamente, le da una buena descripción de $L$. Y, por supuesto, la radial de proyección no está definido de manera significativa en el origen.

Ejemplos:

• En el caso de los torus $G=\mathbb R^n/\mathbb Z^n$ tenemos $L=\mathbb Z^n\setminus\{0\}$. (El de la proyección de imagen densa pero no se llene la unidad de la esfera.)
• Si $G=SU(2)=Sp(1)=S^3$, luego por la geometría de la esfera de $L=\{v\in\mathfrak g\setminus\{0\};|v|\in2\pi\mathbb N\}$. (La proyección se surjective.)
• Deje $G=U(n)$ y supongamos $A\in L$. La matriz $A$ es antihermitean, por lo que hasta unitaria de cambio de base $A=iD$ donde $D=\text{diag}(a_1,\dots,a_n)$ es una verdadera matriz diagonal. A continuación, $I=\exp(A)=\text{diag}(e^{ia_1},\dots,e^{ia_n})$ implica que el $a_i\in2\pi\mathbb Z$ todos los $i$. Por lo tanto, $L$ se compone de las matrices con valores propios en $2\pi i\mathbb Z$. En el caso de $SU(n)$ existe la restricción adicional de que los valores deben sumar cero. (El de la proyección de imagen densa, pero no estoy seguro si es surjective.)

Answer 1

Afirmo que el radial proyección de $L$ es siempre denso, pero es sólo para surjective $S^1$, $SO(3)$ y $SU(2)$.

Para ver que la proyección es denso, tomar un vector distinto de cero $v$ $\mathfrak{g}$ e incrustar $v$ a un máximo de Cartan $\mathfrak{h}$. A continuación, el mapa exponencial restringido a $\mathfrak{h}$ tiene el núcleo de un entramado $\Lambda$ (la raíz de celosía) de rango $\dim \mathfrak{h}$. Podemos aproximar la proyección esférica de $v$ arbitrariamente bien por esférica proyecciones de celosía puntos, por lo que la proyección esférica de $L$ es densa.

Ya ha calculado que la proyección esférica no es surjective para $H = (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2$. Por lo tanto, es también no surjective si $G$ contiene una copia de $H$. Así que sólo se preocupan por los grupos de rango $\leq 1$. (Rank es la dimensión de un máximo de toro.) Mirando a través de la clasificación de los compactos conectado Mentira grupos, este es el grupo trivial, $S^1$, $SO(3)$ y $SU(2)$, y su convenciones sobre el vector cero de la regla de la trivial grupo.

Finalmente, en cuanto a la cuestión de lo $L$ parece. Fijar un Cartan $\mathfrak{h}$, vamos a $\Lambda$ ser la raíz de celosía (núcleo de $\exp: \mathfrak{h} \to G$) y deje $W$ ser el grupo de Weyl (el cual puede ser definido como:$\{ g \in G: g \cdot \mathfrak{h} = \mathfrak{h} \}/\exp(\mathfrak{h})$). Me dicen que hay un componente conectado de $L$ por cada elemento de a$\lambda$$(\Lambda \setminus \{ 0 \})/W$, y es isomorfo al espacio homogéneo $G/P_{\lambda}$ donde $P_{\lambda}$ es el estabilizador de la $\lambda$.

Por ejemplo, supongamos $G=SU(2)$. Tome $\mathfrak{h} = \mathbb{R} \left( \begin{smallmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{smallmatrix} \right)$. A continuación,$\Lambda = 2 \pi \mathbb{Z} \left( \begin{smallmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{smallmatrix} \right)$$W = \pm 1$, actuando en $\Lambda$$\pm 1$. Para cada una de las $\lambda \in \Lambda$, el estabilizador $P_{\lambda}$$S^1$$G/P_{\lambda} \cong S^2$. Tratar de visualizar un anidada de la cadena de esferas en $\mathbb{R}^3$, de radio $2 \pi k \sqrt{2}$, y una línea de $\mathfrak{h}$ la perforación de cada uno de ellos en el$2$$\pm 2 \pi k \left( \begin{smallmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{smallmatrix} \right)$.

Prueba de croquis escribimos $\pi$ para el mapa continuo $\mathfrak{g} \to \mathfrak{h}/W$, cuyas fibras son las $G$ órbitas en $\mathfrak{g}$. Desde $L$ $G$ invariante, tenemos $g \in L$ si y sólo si $\pi(g)$, levantó a un elemento de $\mathfrak{h}$$L$. Pero $\mathfrak{h} \cap L = \Lambda$. Por lo $L = \pi^{-1}(\Lambda/W) \setminus \{ 0 \}$. Para $\lambda \in \Lambda/W$, la fibra $\pi^{-1}(\lambda)$ $G$- órbita a través de $\lambda$, que es $G/P_{\lambda}$. $\square$