¿Una comprensión intuitiva para Möbius equivalente a la función totient?

Question

$$ \varphi (n)= \sum_ {d \mid n}d \cdot \mu\left ( \frac {n}{d} \right )=n \sum_ {d \mid n} \frac { \mu (d)}{d}$$

Esto describe la función de Totient en términos de la función de Möbius. Entiendo lo que hace la función de Möbius pero no entiendo esta derivación en absoluto. ¿Hay alguna manera fácil de entender por qué es así?

No busco una larga prueba matemática, sino una comprensión intuitiva. He visto muchos papeles que muestran la prueba, pero no entiendo lo que está pasando.

Answer 1

$ \varphi (n)$ cuenta el número de números enteros $k$ entre $1$ y $n$ que son relativamente primos para $n$ .

El término $d=n$ nos da nuestro valor inicial de $n \cdot\mu ( \frac {n}{n})=n \cdot 1=n$ es decir, todos los números enteros $1 \leq k \leq n$ .

Para cada primo $p$ dividiendo $n$ el término $d= \frac {n}{p}$ tira los múltiplos de $p$ de entre los números entre $1$ y $n$ ; específicamente, hay $ \frac {n}{p}$ múltiplos de $p$ entre $1$ y $n$ y el $d= \frac {n}{p}$ término en la suma contribuye $ \frac {n}{p} \cdot\mu (p)=- \frac {n}{p}$ .

Desafortunadamente, el resultado aún no es del todo correcto, para cualquier divisor principal distinto $p_1$ y $p_2$ de $n$ contábamos como si tuviéramos que eliminar múltiplos de $p_1p_2$ dos veces cuando, por supuesto, sólo las quitamos una vez. Los términos $d= \frac {n}{p_1p_2}$ correcto para esto, porque contribuyen $ \frac {n}{p_1p_2} \cdot \mu (p_1p_2)= \frac {n}{p_1p_2}$ el número de múltiplos de $p_1p_2$ entre $1$ y $n$ .

Pero entonces debemos tener en cuenta los números entre $1$ y $n$ que originalmente triple -y que nuestra corrección anterior sobre corrige, etc. - la naturaleza alterna de la función de Möbius es lo que hace que lo haga de la manera que necesitamos.