¿Cómo puedo demostrar que cada grupo de $N = 255$ elementos es conmutativo?

Question

La tarea anterior era la misma pero con $N = 185$ . Y lo demuestro demostrando que el número de subgrupos Sylow es 1 para cada primo $p\mid N$ . Pero ahí tengo algunas opciones $N_5 \in \{1, 51\}$ , $N_{17} = 1$ , $N_3 \in \{1, 85\}$ .

He tratado de conseguir la contradicción de $N_5 = 51$ o $N_3=85$ pero no lo conseguí

Entiendo que es imposible tener $N_5 = 51$ y $N_3=85$ al mismo tiempo.

Answer 1

Este pregunta reciente conduce a otra solución, quizá la más elemental. De nuevo hacemos uso directo de la observación de la pregunta inicial de que es "imposible tener $N_5=51$ y $N_3=85$ al mismo tiempo". (Como si no $G$ contendría $852+514=374>255=\#G$ elementos de orden $3$ o $5$ .)

Por $N_{17} = 1$ El $17$ -Grupo Sylow $P_{17}$ es normal en $G$ . Por la observación anterior, existe un subgrupo normal $N$ de $G$ de orden $3$ o $5$ . Por la clasificación de $pq$ -grupos, los grupos $G/P_{17}$ de orden $15 = 3\cdot 5$ y $G/N$ de orden $65 = 5\cdot 17$ o $51 = 3\cdot 17$ son ambos cíclicos.

Consideremos el homomorfismo de grupo $$\phi : G \to G/P_{17} \times G/N, \quad g\mapsto (gP_{17},gN).$$ Entonces $\ker\phi = P_{17} \cap N = \{e\}$ Así que $\phi$ es una inyección y $G$ es isomorfo a un subgrupo del grupo abeliano $G/P_{17} \times G/N$ (abeliano como producto directo de grupos cíclicos). Por tanto, $G$ es abeliano.

Answer 2

En breve. O bien $P_3$ o $P_5$ es normal y, por tanto, central (piénsese en las clases de conjugación de $G$ ). En consecuencia, o bien $G/P_3$ o $G/P_5$ es cíclico (porque tanto $5$ y $3$ no dividir $17-1=16$ ). Entonces, $G$ es abeliano (y, por tanto, cíclico).