Suma de $1-\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{5^2}-\frac{4^2}{5^3}+....$

Question

$1-\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{5^2}-\frac{4^2}{5^3}+....$

¿Cómo podemos encontrar la suma de los anteriores de la serie hasta el infinito?

No sé cómo empezar y sólo necesitas un poco de pista.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$$ $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 - x}\right) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$$ $$x\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 - x}\right) = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \dots$$ $$\frac{d}{dx}\left(x\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 - x}\right)\right) = 1 + 2^2x + 3^2x^2 + 4^2x^3 + \dots$$

Ahora determinar LHS y sustituir en $x = -\frac{1}{5}$ (yo usé Wolfram):

$$-\frac{x + 1}{(x - 1)^3} = 1 + 2^2x + 3^2x^2 + 4^2x^3 + \dots$$ $$\frac{25}{54} = 1 - \frac{2^2}{5} + \frac{3^2}{5^2} - \frac{4^2}{5^3} + \dots$$

Answer 2

Dicen suma a $n$ términos de la serie es $S_n$.

Ahora tenemos que $$S_n=1+\sum_{r=1}^n (-1)^n\cdot\frac{(n+1)^2}{5^{n}}=1+R_n$$ donde $R_n=\sum_\limits{r=1}^n (-1)^n\cdot\frac{(n+1)^2}{5^{n}}=-\frac{2^2}{5}+\sum_\limits{r=1}^n (-1)^{n+1}\cdot\frac{(n+2)^2}{5^{n+1}}$

Ahora $$-\frac{1}{5}\cdot R_n=\sum_{r=1}^n (-1)^{n+1}\cdot\frac{(n+1)^2}{5^{n+1}}$$

Restando obtenemos $$\frac{6}{5}\cdot R_n=-\frac{2^2}{5}+\sum_{r=1}^n (-1)^{n+1}\cdot\frac{2n+3}{5^{n+1}}=-\frac{2^2}{5}+Q_n$$

Del mismo modo $$Q_n=\frac{1}{5}+\sum_{r=1}^n (-1)^{n+2}\cdot\frac{2n+5}{5^{n+2}}$$ y $$-\frac{1}{5}\cdot Q_n=\sum_{r=1}^n (-1)^{n+2}\cdot\frac{2n+3}{5^{n+2}}$$

De nuevo tenemos que $$\frac{6}{5}Q_n=\frac{1}{5}+\sum_{r=1}^n (-1)^{n+2}\cdot\frac{2}{5^{n+2}}$$

Al$n\to\infty$, $$Q_\infty=\frac{5}{6}(\frac{1}{5}-\frac{1}{75})=\frac{7}{45}$$

Por lo tanto podemos calcular el $R_\infty$$S_\infty$, lo que viene a ser $\frac{25}{54}$.