Demostrar la identidad de $\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \cdots + \binom{2n+1}{n} = 4^n$

Question

He trabajado a cabo una prueba, pero me preguntaba acerca de alternativas, posiblemente la más elegante de formas de demostrar la declaración. Este es mi (espero que bien) prueba:

A partir de la identidad de $2^m = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k}$ (fácilmente deriva del teorema del binomio), con $m = 2n$:

$2^{2n} = 4^n = \binom{2n}{0} + \binom{2n}{1} + \cdots + \binom{2n}{2n-1} + \binom{2n}{2n}$

La aplicación de la propiedad $\binom{m}{k} = \binom{m}{m-k}$ a la segunda mitad de la lista de los sumandos en la CARTA de arriba:

$4^n = \binom{2n}{0} + \binom{2n}{1} + \cdots + \binom{2n}{n-1} + \binom{2n}{n} + \underbrace{\binom{2n}{n-1} +\cdots \binom{2n}{1} + \binom{2n}{0}}_{\binom{m}{k} = \binom{m}{m-k} \text{ has been applied}}$

Reorganización de dicha suma, por alternativamente, si se toman los términos de la parte delantera y al final del sumando de la lista en el lado derecho de arriba (y introducir el término $\binom{2n}{-1} = 0$ al principio sólo para hacer explícito el patrón de desarrollo):

$4^n = (\binom{2n}{-1} + \binom{2n}{0}) + (\binom{2n}{0} + \binom{2n}{1}) + \cdots + (\binom{2n}{n-1} + \binom{2n}{n})$

Por último, el uso de la propiedad $\binom{m}{k} + \binom{m}{k-1} = \binom{m+1}{k}$ sobre el par de sumandos, obtenemos el resultado deseado:

$4^n = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \cdots + \binom{2n+1}{n}$

Answer 1

¿Por qué no $$ \begin{align} 2^{2n+1} &=\binom{2n+1}{0}+\cdots+\binom{2n+1}{n}+\binom{2n+1}{n+1}+\cdots+\binom{2n+1}{2n+1} \\ &=\binom{2n+1}{0}+\cdots+\binom{2n+1}{n}+\binom{2n+1}{n}+\cdots+\binom{2n+1}{0} \\ &=2\left[\binom{2n+1}{0}+\cdots+\binom{2n+1}{n}\right] \end{align} $$ Luego divide cada extremidad por 2.

Answer 2

Aplicar lo que se menciona en (en este contexto más agradable) impar $2n+1$, en lugar de, incluso, $2n$ encontramos:$$2\times4^n=2^{2n+1}=\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}=2\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}$$

Ahora divida por $2$.

Answer 3

Deje $A$ ser el powerset (es decir, el conjunto de los subconjuntos de) a $\{1,\ldots,2n\}$. Deje $B$ el conjunto de todos los subconjuntos de a $\{1,\ldots,2n+1\}$ en la mayoría de las $n$ elementos. A continuación, "claramente" $|A|=2^{2n}=4^n$$|B|=\sum_{k=0}^n{2n+1\choose k}$. Definir el mapa siguiente, a $f\colon B\to A$: $$f(S)=\begin{cases}S&\text{if }2n+1\notin S\\\{1,\ldots,2n+1\}\setminus S&\text{if }2n+1\in S\end{cases} $$ y definir $g\colon A\to B$ por $$g(S)=\begin{cases}S&\text{if }|S|\le n\\\{1,\ldots,2n+1\}\setminus S&\text{if }|S|>n\end{cases} $$ Por último, compruebe que $f$ $g$ son inversos el uno del otro, por lo tanto $|A|=|B|$.