Para cualquier liso colector $M$, la colección de $F = C^\infty(M, \mathbb{R})$ de lisa real de las funciones con valores en $M$ puede ser hecho en un anillo, y cada punto de $x \in M$ determina un anillo homomorphism $F \to \mathbb{R}$$F$. Si $M$ es compacto, ¿cómo puedo ver que cada ideal maximal en $F$ surge de esta manera desde un punto de $M$?
Respuestas
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Deje $L$ ser un ideal maximal, supongamos que $\bigcap_{f\in L}\{x:f(x)=0\}=\phi$. A continuación, para cada $x\in M$ existe $f_x\in L$ tal que $f_x(x)\neq 0$. Existe un entorno $U_x$ $x$ de manera tal que la restricción de $f_x$ $U_x$no se desvanecen, suponemos que a $f_x>0$ $U_x$ y multiplicando $f_x$ por un corte de la función, la que obtenga $g_x$ cuyo apoyo es en $U_x$ y la restricción de $g_x$ a un vecindario $V_x\subset U_x$ $x$ es estrictamente positivo. Desde $M$ es compacto, usted puede cubrir $M$ con un número finito de $V_{x_i}$ $\sum_i g_{x_i}$ no se desvanecen. así es invertible y $L$ contiene una unidad, una contradicción. De modo que existe $x$ tal que para cada $f\in L$, $f(x)=0$, por lo $L$ está contenida en el ideal maximal $L_x=\{f:f(x)=0\}$, ya que el $L$ es máxima, $L=L_x$.
rschwieb
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En realidad hay una muy fácil la prueba de que funciona para este anillo, y también si se relaja el anillo a ser el anillo de funciones continuas.
Denota el conjunto de elementos que $f$ se asigna a cero como $z(f)$.
Lema: Para una correcta ideal $I$ si $f,g\in I$,$z(f)\cap z(g)\neq \emptyset$. Por inducción, el mismo puede decirse de un número finito de funciones en $I$.
Lema: Un espacio es compacto si, dado cualquier familia $F$ de subconjuntos cerrados con la propiedad de que todas las intersecciones finitas de los miembros de $F$ son no vacíos, la intersección de todos los miembros de $F$ es no vacío.
Por el primer lema, se puede ver a la familia de cero conjuntos de elementos en $I$ formar una colección en la que el criterio de compacidad en el segundo lema se aplica. Por lo tanto, la intersección de la cero conjuntos de todos los elementos en $I$ es no vacío. Por maximality, $I$ es por lo tanto un conjunto de funciones que son cero en un solo punto.
Usted puede encontrar más detalles aquí donde me dio la solución para un menor pregunta general.
