Pruebas $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{i}{2^i}}=2-\frac{n+2}{2^n}$ por inducción.

Question

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Teorema (Principio de inducción matemática):

Sea $G\subseteq \mathbb{N}$ supongamos que

a. $1\in G$
b. si $n\in \mathbb{N}$ y $\{1,...,n\}\subseteq G$ entonces $n+1\in G$

Entonces $G=\mathbb{N}$

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Demostración por inducción

Demostrar que $$\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{2^i}}=2-\frac{n+2}{2^n},\quad \quad \forall n\in \mathbb{N} \tag{1}$$

$\color{darkred}{\mbox{Proof:}}$ deje $P(n)$ sea la declaración $\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{2^i}}=2-\frac{n+2}{2^n}$

$$\sum_{i=1}^{1}{\frac{i}{2^i}}=\frac{1}{2}=2-\frac{1+2}{2^1}\tag{Basis step $ P(1) $}$$ Así $P(1)$ es cierto
Suponemos que $P(n)$ es verdadera y demostrar que $P(n+1)$ es cierto $$\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{i}{2^i}}\stackrel{?}{=}2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} $$

Sabemos que $$ \begin{align*} \sum_{i=1}^{n+1}{\frac{i}{2^i}}&=\color{darkred}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{2^i}}}_\text{P(n) is true}}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \tag{LHS} \\ &=\color{darkred}{2-\frac{n+2}{2^n}} + \frac{n+1}{2^{n+1}}\\ &=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} + \frac{n+1}{2^{n+1}}\\ &=\frac{2\cdot 2^{n+1}-2n-4+n+1}{2^{n+1}}\\ &=\frac{2\cdot 2^{n+1}-n-3}{2^{n+1}}\tag{2}\\ \end{align*} $$

Y $$ \begin{align*} 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}&=\frac{2\cdot 2^{n+1}-n-3}{2^{n+1}} \tag{RHS} \end{align*} $$

Así que

$$\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{i}{2^i}}\stackrel{}{=}2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \tag{3}$$

Por lo tanto, si $P(n)$ es cierto, entonces $P(n+1)$ es cierto.
Por lo tanto $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{i}{2^i}}=2-\frac{n+2}{2^n},\quad \quad \forall n\in \mathbb{N} $ $\hspace{8cm}$ ${\Large }$

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Mi pregunta

$(i)$ ¿tiene sentido mi solución (es correcta?)
$(ii)$ En caso afirmativo, ¿es éste un enfoque correcto para demostrar fórmulas por inducción?

¿Alguien puede darme algunos consejos?

Answer 1

Tu prueba parece correcta (aunque no he comprobado tu aritmética). Una manera más fácil es primero trivialmente inductivamente demostrar la Teorema fundamental del cálculo diferencial

$$\rm\ F(n)\ =\ \sum_{i\: =\: 1}^n\:\ f(i)\ \ \iff\ \ \ F(n) - F(n\!-\!1)\ =\ f(n),\quad\ F(0) = 0$$

Su caso especial ahora se sigue inmediatamente verificando que

$$\rm\ F(n)\ =\ 2 - \frac{n\!+\!2}{2^n}\ \ \Rightarrow\ \ F(n)-F(n\!-\!1)\ =\: \frac{n}{2^n}\:.\ $$

Empleando el Teorema Fundamental hemos reducido la prueba a la trivial mecánico verificación de una ecuación sencilla, que no requiere ingenio (realizable por ordenador).

Tenga en cuenta que la demostración del Teorema Fundamental es mucho más obvia que la de su caso especial porque el cancelación telescópica es obvia a este nivel de generalidad, mientras que suele estar ofuscada en la mayoría de los casos concretos. A saber, la demostración del Teorema Fundamental no es más que una demostración inductiva rigurosa de la siguiente cancelación telescópica $$\rm - F(0)\!+\!F(1) -F(1)\!+\!F(2) - F(2)\!+\!F(3)-\:\cdots - F(n-1)\!+\!F(n)\ =\:\: -F(0) + F(n) $$ donde todos los términos excepto el final se cancelan. Para más información, véase mi muchos posts sobre telescopios.

Answer 2

Absolutamente correcto, esto es.

Answer 3

También puede observar que $$\sum\limits_{i=1}^n \frac{i}{2^i} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2^i}+ \sum\limits_{i=2}^{n} \frac{1}{2^i} + \dots + \sum\limits_{i=n}^n \frac{1}{2^i}= \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=j}^n \frac{1}{2^i}$$ Así que puedes encontrar el resultado sin conocerlo de antemano; se trata sólo de una serie geométrica.