$H_0(X)\simeq\Bbb{Z}^k$ donde $k$ es el número de componentes de la ruta

Question

Quiero demostrar que la $H_0(X)\simeq\Bbb{Z}^k$ donde $k$ es el número de componentes de la ruta de $X$.

Lo he intentado Desde $∂_0=0$, $$H_0(X)=\ker{∂_0}/\operatorname{Im}∂_1=C_0(X)/\operatorname{Im}∂_1=\left\{\sum_{f:\Delta_0\to X}{n_f f: n_f\in\Bbb{Z}}\right\}/\operatorname{Im}∂_1.$$ $\operatorname{Im}∂_1$ consists of elements like $g\restriction_{v_1}-g\restriction_{v_0}$, where $g:\Delta_1\to X$. Since $g$'s are continuous and $\Delta_1$ is path-connected, $g(\Delta_1)$ always lies in a path-component of $X$. By taking the quotient $C_0(X)/\operatorname{Im}∂_1$ we actually identify $f$'s whose images are in the same component. So we end up with $k$ many generators, which leads to $H_0(X)\simeq\Bbb{Z}^k$.

Preguntas ¿Cómo puedo formalizar mi prueba? Es allí una manera de escribir $\operatorname{Im}∂_1$ como una suma directa de $\Bbb{Z}$'s?

Answer 1

Creo que has entendido la idea de que el resultado, que es un tema importante.

Una manera de formalizar podría ser el siguiente:

• Tratando de dividir un problema en partes más pequeñas, primero probar que, en general, si usted tiene $X = \bigsqcup_i X_i $, donde el $X_i$ son los componentes de la ruta de $X$, luego

$$ H_*(X) = \bigoplus_i H_*(X_i) \ . $$

• Entonces, probar que, si $X$ es el camino,la

$$ H_0(X) \cong \mathbb{Z} \ . $$

Como para la primera parte, ya he dicho casi todo: si $\sigma : \Delta^p \longrightarrow X$ $p$- simplex, necesariamente,$\sigma (\Delta^p) \subset X_i$, para algunos ruta-componente $X_i$. También su límite de $\partial (\sigma) \in B_{p-1}(X_i)$. Con todo, es claro que tienes

$$ C_*(X) = \bigoplus_i C_*(X_i) \qquad \text{y} \qquad H_*(X) \cong \bigoplus_i H_*(X_i) \ . $$

En particular,

$$ H_0(X) \cong \bigoplus_i H_0(X_i) \ . $$

En cuanto a la segunda parte, una clásica forma de proceder es a través del aumento de mapa:

$$ \varepsilon : C_0(X) \longrightarrow \mathbb{Z} \ , $$

que se define como sigue: usted puede identificar cada una de las $0$-simplex como combinación lineal de los puntos de $X$ con coeficientes enteros

$$ \sigma = \sum_{x\in X} m_x x \ . $$

A continuación, se definen

$$ \varepsilon \left(\sum_{x\in X} m_x x \right) := \sum_{x\in X} m_x \ . $$

Y comprobar solo dos cosas:

• $\varepsilon$ es un epimorphism.
• $\ker\varepsilon = B_0(X)$

Desde que tienes el resultado.

EDIT. Debido a que el primer teorema de isomorfismo: si tenemos un morfismos de grupos,

$$ \varepsilon : C_0(X) \longrightarrow \mathbb{Z} \ , $$

entonces, en general, tiene un isomorfismo

$$ C_0(X) /\!\ker\varepsilon \longrightarrow \mathrm{im}\ \varepsilon \ . $$

Desde $\varepsilon$ es un epimorphism, $\mathrm{im}\ \varepsilon = \mathbb{Z}$ y hemos terminado.