Covarianza galileana de la ecuación de Schrodinger

Question

¿Es la ecuación de Schrodinger covariante bajo transformaciones galileanas?

Sólo hago esta pregunta para poder escribir yo mismo una respuesta con el contenido que se encuentra aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/User:Likebox/Schrodinger#Galilean_invariance

y aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/User:Likebox/Schrodinger#Galilean_invariance_2

Me enteré de estas páginas en un comentario a esta respuesta por Ron Maimon. Creo que Ron Maimon es el escritor original de este contenido.

Esto es creative commons, así que está bien copiarlo aquí. No está en ningún libro de texto sobre mecánica cuántica no relativista que yo conozca, y pensé que sería más accesible (si para nadie más, al menos para mí) y seguro aquí. Espero que este tipo de pregunta no esté en desacuerdo con la política del sitio.

Answer 1

Formalismo del operador

La simetría galileana exige que $H(p)$ es cuadrática en $p$ tanto en el formalismo hamiltoniano clásico como en el cuántico. Para que los impulsos galileanos produzcan un $p$ -independiente del factor de fase, $px - Ht$ debe tener una forma muy especial -las traducciones en $p$ deben ser compensados por un cambio en $H$ . Esto sólo es cierto cuando $H$ es cuadrática.

El generador infinetesimal de boosts tanto en el caso clásico como en el cuántico es

$$ B = \sum_i m_i x_i(t) - t \sum_i p_i $$

donde la suma es sobre las diferentes partículas, y $B$ , $x$ , $p$ son vectores.

El corchete de Poisson / conmutador de $B\cdot v$ con $x$ y $p$ generan aumentos infinitesimales, con $v$ el vector de velocidad de impulso infitesimal:

$$ [B \cdot v, x_i] = vt $$

$$ [B \cdot v, p_i] = v m_i $$

La iteración de estas relaciones es sencilla, ya que suman una cantidad constante en cada paso. Al iterar, el $dv$ s suman incrementalmente la cantidad finita $V$ :

$$ x \rightarrow x_i + Vt $$ $$ p \rightarrow p_i + m_i V $$

$B$ dividido por la masa total es la posición actual del centro de masa menos el tiempo por la velocidad del centro de masa:

$$ B = M X_\text{cm} - t P_\text{cm} $$

En otras palabras, $B/M$ es la estimación actual de la posición que tenía el centro de masa en el momento cero.

La afirmación de que $B$ no cambia con el tiempo es el teorema del centro de masa. Para un sistema invariante galileano, el centro de masa se mueve con una velocidad constante, y la energía cinética total es la suma de la energía cinética del centro de masa y la energía cinética medida en relación con el centro de masa.

Desde $B$ depende explícitamente del tiempo, $H$ no conmuta con $B$ Más bien:

$$ \frac{dB}{dt} = [H,B] + \frac{\partial B}{\partial t} = 0 $$

Esto da la ley de transformación para $H$ bajo aumentos infinitesimales:

$$ [B \cdot v, H] = - P_\text{cm} v $$

La interpretación de esta fórmula es que el cambio en $H$ bajo un impulso infitesimal viene dado en su totalidad por el cambio de la energía cinética del centro de masa, que es el producto punto del momento total por la velocidad de impulso infitesimal.

Las dos cantidades $(H,P)$ forman una representación del grupo galileo con carga central $M$ , donde sólo $H$ y $P$ son funciones clásicas sobre el espacio de fases u operadores mecánicos cuánticos, mientras que $M$ es un parámetro. La ley de transformación para infinitesimales $v$ :

$$ P' = P + Mv $$ $$ H' = H - P\dot{v} $$

se puede iterar como antes - $P$ va de $P$ a $P + MV$ en incrementos infinitesimales de $v$ , mientras que $H$ cambia en cada paso en una cantidad proporcional a $P$ que cambia linealmente. El valor final de $H$ se modifica entonces por el valor de $P$ a medio camino entre el valor inicial y el final:

$$ H' = H - (P + \frac{MV}{2}) \cdot V = H - P \cdot V - \frac{MV^2}{2} $$

Los factores proporcionales a la carga central $M$ son las fases de la función de onda adicional.

Los impulsos dan demasiada información en el caso de una sola partícula, ya que la simetría galileana determina completamente el movimiento de una sola partícula. Dada una solución multipartícula dependiente del tiempo:

$$ \psi_t(x_1, x_2, ..., x_n) $$

con un potencial que sólo depende de las posiciones relativas de las partículas, puede utilizarse para generar la solución potenciada:

$$ \psi'_t = \psi_t(x_1 + vt,...,x_n + vt) e^{i P_\text{cm} \cdot X_\text{cm} - \frac{M v_\text{cm}^2}{2}t} $$

Para el problema de la onda estacionaria, el movimiento del centro de masa sólo añade una fase global. Cuando se resuelven los niveles de energía de los sistemas multipartícula, la invariancia galileana permite ignorar el movimiento del centro de masa.

Answer 2

Ecuación de Schrödinger libre

Los impulsos galileanos son transformaciones que contemplan el sistema desde el punto de vista de un observador que se mueve con una velocidad constante $-v$ . Un impulso debe cambiar las propiedades físicas de un paquete de ondas de la misma manera que en la mecánica clásica:

$$ p' = p + mv $$

$$ x' = x + vt $$

para que el factor de fase de una onda plana de Schrödinger libre:

$$ px - Et = (p' - mv)(x' - vt) - \frac{(p' - mv)^2}{2m} t = p'x' + E't - mvx' + \frac{mv^2}{2} t $$

sólo es diferente en las coordenadas potenciadas por una fase que depende de $x'$ y $t$ pero no en $p$ .

Una superposición arbitraria de soluciones de ondas planas con diferentes valores de $p$ es la misma superposición de ondas planas potenciadas, hasta un $x,t$ factor de fase dependiente. Así que cualquier solución de la ecuación de Schrödinger libre $\psi_t(x)$ puede potenciarse en otras soluciones:

$$ \psi'_t(x) = \psi_t(x + vt) e^{imvx - i \frac{mv^2}{2}t} $$

El refuerzo de una función de onda constante produce una onda plana. Más generalmente, el refuerzo de una onda plana:

$$ \psi_t(x) = e^{ipx - i \frac{p^2}{2m}t} $$

produce una onda potenciada:

$$ \psi'_t(x) = e^{ip(x+vt) - i\frac{p^2}{2m}t + imvx - i\frac{mv^2}{2}t} = e^{i(p+mv)x + i\frac{(p+mv)^2}{2m}t} $$

Bossting el paquete de ondas gaussianas de propagación:

$$ \psi_t(x) = \frac{1}{\sqrt{a + it/m}} e^{-\frac{x^2}{2a}} $$

produce la gaussiana móvil:

$$ \psi'_t(x) = \frac{1}{\sqrt{a + it/m}} e^{-\frac{(x+vt)^2}{2a} + imvxx - i\frac{mv^2}{2}t} $$

que se extiende de la misma manera.

Answer 3

Una onda de Schrödinger libre tiene la forma $$\psi = N e^{i(\omega t - kx)} ~.$$ Una transformación de Galilei lo convierte en $$\psi = N e^{i(\omega t' - k(x'+vt'))} = e^{i((\omega -kv) t' - kx')} ~.$$ Así que $$\omega' = \omega - kv$$ y $$k'=k ~.$$ La conclusión es que la ecuación de Schrödinger no es covariante bajo las transformaciones de Galilei.

La ecuación es covariante bajo el llamado grupo de Schrödinger. Sin embargo, algunas operaciones de este grupo no son transformaciones de coordenadas, ya que dependen de la masa de la partícula. El artículo de wikipedia de este grupo es opaco. Ver mi presentación en arxiv.org https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403013 .