Imposibilidad de ordenar los números complejos

Question

Tengo que exponer sobre la imposibilidad de ordenar los números complejos:

Axiomas $6$: Exactamente una de las relaciones $x = y$, $x < y$, $x > y$ es verdadera.

Axiomas $7$: Si $x < y$, entonces para todo z tenemos x + z < y + z.

Axiomas $8$: Si $x > y$ y $y > z$, entonces $x > z

Hasta ahora no hemos definido una relación de la forma $x < y$ si $x$ e $y$ son números complejos arbitrarios, por la razón de que es imposible dar una definición de $<$ para números complejos que tenga todas las propiedades en los Axiomas $6$ a $8$. Para ilustrar, supongamos que pudiéramos definir una relación de orden $<$ que satisfaga los Axiomas $6$, $7 y $8$. Entonces, dado que $i \neq 0$, debemos tener o bien $i > 0$ o $i < 0$, según el Axioma 6. Supongamos $i > 0$. Entonces tomando $x = y = i$ en el Axioma $8$, obtenemos $i^2 > 0$, o $-1 > 0$. Sumando 1 a ambos lados (Axioma $7$), obtenemos $0 > 1$. Por otro lado, aplicando el Axioma $8$ a $-1 > 0$ encontramos $1 > 0$. Así que tenemos tanto $0 > 1$ como $1 > 0$, lo cual, según el Axioma $6$, es imposible. Por lo tanto, la suposición $i > 0$ nos lleva a una contradicción. [¿Por qué la desigualdad $-1 > 0$ no era ya una contradicción?] Un argumento similar muestra que no podemos tener $i < 0$. Por lo tanto, los números complejos no pueden ser ordenados de tal manera que se cumplan los Axiomas $6$, $7$ y $8.

¿Pero por qué la desigualdad $-1 > 0$ no era ya una contradicción? ¿y es verdadero para $i < 0$?

Answer 1

Los axiomas 6, 7 y 8 no son suficientes para excluir la posibilidad de ordenar los números complejos.

Si defines $a+bi\prec c+di$ ($a,b,c,d\in\mathbb{R}$) cuando $a

La contradicción aparecerá solo si agregas otro axioma:

si $x

Primer paso: demostrar que $0<1$.

Hay dos casos: $1<0$ o $0<1$. Supongamos $1<0$; entonces $1-1<0-1$, así que $0<-1$. Por lo tanto, $0(-1)<(-1)(-1)$, es decir, $0<1: una contradicción.

Segundo paso: demostrar que $-1<0$

Dado que $0<1$, tenemos $0-1<1-1$.

Tercer paso: obteniendo una contradicción

Supongamos $0

Supongamos $i<0$; entonces $i-i<0-i$ y $0<-i$; entonces $0(-i)<(-i)^2$, es decir, $0<-1$, una contradicción.

Conclusión

El axioma 6 no puede sostenerse para $x=0$ e $y=i$.

Answer 2

Si $\mathbb{C}$ se considera como un grupo Abeliano aditivo, o incluso como un espacio vectorial real de $2$ dimensiones, entonces puede ser totalmente ordenado, de una manera que sea compatible con las operaciones de suma y multiplicación por escalares reales. Citando de Espacio vectorial ordenado - Wikipedia, la enciclopedia libre:

$\mathbb{R}^2$ es un espacio vectorial ordenado con la relación $\leq$ definida de cualquiera de las siguientes maneras $\ldots$

Orden lexicográfico: $(a, b) \leq (c, d)$ si y solo sí $a < c$ o ($a = c$ y $b \leq d$). Esta es una ordenación total. El cono positivo se define como $x > 0$ o ($x = 0$ y $y \geq 0$) $\ldots$

Por lo tanto, para demostrar la no existencia de una ordenación total compatible de $\mathbb{C}$, deberás adoptar al menos un postulado relacionado con su estructura multiplicativa.

Answer 3

Pista: demuestra (no se da por sentado, debes demostrarlo) que para $x \ne 0$ entonces $x^2 > 0$.

Luego, tienes que $i^2 > 0$ y $1^2 > 0$.

¿Por qué $1 < 0$ no es una contradicción inmediata? ¿Por qué debería serlo? ¿Alguna vez te dieron un axioma de que $1 > 0$? No lo hicieron. (pero lo puedes demostrar.)

Answer 4

En cuanto a tu primera pregunta, ¿es "$-1<0$" explícitamente uno de tus axiomas? Si no lo es, tienes que probarlo, y "$-1>0$" no es inmediatamente una contradicción.

En cuanto a tu segunda pregunta, el caso en el que asumimos $i<0$ es similar. Puedes probar (y probablemente ya lo hayas hecho como ejercicios anteriores) que tus axiomas implican que $-a>0$ siempre que $a<0$, y que $(-a)(-a)=a^2$. Así que tenemos que $-i>0$ y $(-i)^2=-1$, por lo que podemos ejecutar la prueba anterior con $-i$ en lugar de $i.

(Además, no es necesario usar mayúsculas).

Answer 5

¿Por qué sería imposible crear un ordenamiento para los números complejos? Como sabes, un número complejo se puede describir como un punto en el plano complejo, y como resultado, se puede escribir en coordenadas polares (a1*cos(x1),a1*sin(x1)). Ahora digamos que dos números complejos A1=(a1*cos(x1),a1*sin(x1)) y A2=(a2*cos(x2),a2*sin(x2)) necesitan ser ordenados, entonces podemos establecer la siguiente regla de ordenamiento:

A1 < A2 si:
  a1 < a2, o:
  a1 = a2 y x1 < x2

¿Qué estaría mal con eso?