Computación Brauer caracteres de un grupo finito

Question

Estoy estudiando el carácter de la teoría del libro "el Carácter de la Teoría de Grupos Finitos" por Martin Isaac. (No estoy demasiado familiarizado con las valoraciones y la teoría algebraica de números.) En el último capítulo modular de la teoría de la representación, Brauer personajes, los bloques, y en defecto de los grupos se introducen.

Mi pregunta es esta: ¿Cómo encontrar la irreductible Brauer personajes y bloques, dado un grupo y un primo?

Por ejemplo, supongamos que tenemos $p=3$ y el grupo de $G = S_5$, el grupo simétrico. Un ejemplo del cálculo exacto o método utilizado para determinar los caracteres que le sería muy útil. Gracias.

Answer 1

Esta es una pregunta difícil y probablemente la necesidad de aprender más de la teoría con el fin de entender los diferentes métodos disponibles.

Pero un método que se utiliza a menudo en la práctica es calcular las representaciones y, a continuación, sólo tienes que encontrar la Brauer carácter directamente a partir de las matrices de la representación. Por supuesto, usted tiene que expresar las trazas de las matrices como las sumas de las raíces de la unidad sobre el campo finito, y, a continuación, levante esta suma a la de los números complejos para obtener la Brauer carácter, pero que no es particularmente difícil. (Eso no es completamente cierto ya que el levantamiento no está definida de forma única, puede que tenga que trabajar duro si quieres hacer que sea coherente.)

Ordinario (complejidad) de las tablas de caracteres, generalmente es mucho más fácil calcular los personajes de las matrices que definen las representaciones, pero que no es siempre el caso con representaciones modulares. No son rápidos algoritmos para calcular representaciones sobre campos finitos, utilizando el llamado MeatAxe algoritmo.

Estoy más familiarizado con el Magma que con diferencia, y espero que no son comandos similares en la BRECHA, pero en el Magma que yo pueda escribir

> G := Sym(5);
> I := AbsolutelyIrreducibleModules(G, GF(3));

y me sale el cinco absolutamente irreductible representaciones en las características de tres como grupo homomorphisms, y así lo podemos ver en las imágenes de los elementos de las diferentes clases conjugacy. Hay un Magma de comandos que hace esto para usted, dándole la Brauer tabla de caracteres:

> [BrauerCharacter(i): i in I];
[
    ( 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0 ),
    ( 1, -1, 1, 0, -1, 1, 0 ),
    ( 4, 2, 0, 0, 0, -1, 0 ),
    ( 4, -2, 0, 0, 0, -1, 0 ),
    ( 6, 0, -2, 0, 0, 1, 0 )
]