Ayuda con este problema de trigonometría

Question

Demuestre la identidad dada.

$$\left(\sin\frac {9\pi}{70}+ \sin\frac {29\pi}{70} - \sin\frac {31\pi}{70}\right) \left(\sin\frac {\pi}{70}-\sin\frac {11\pi}{70} - \sin\frac {19\pi}{70}\right) =\frac {\sqrt {5} -4}{4}$$

Por favor ayúdenme, no pude reunir suficientes ideas, ni siquiera sobre cómo llegar al primer paso. Pensé en usar la fórmula de transformación (de suma a producto) pero no encontré un resultado fructífero.

ACTUALIZACIÓN 1.:

$\left(-\frac{1 +\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} \sqrt{14\left(5 - \sqrt{5} \right)}\right)\left(-\frac{ 1+ \sqrt{5}}{8} -\frac{1}{8} \sqrt{14 \left(5 -\sqrt{5} \right)}\right) $,

Me di cuenta de que Alexis había llegado a este punto. ¿Alguien puede explicarme cómo llegó aquí, con cálculos? Por favor ayuda.

Gracias de Antemano.

Answer 1

Un método usando identidades trigonométricas, aunque uno muy largo -

Para simplificar, pongamos $\dfrac{\pi}{70}=A$. Ahora, la expresión es -

$(\sin{9A}+\sin{29A}-\sin{31A})(\sin{A}-\sin{11A}-\sin{19A})$

Multiplica completamente ambos paréntesis y para cada término de tipo "$\sin*\sin$", conviértelo en la suma de dos cosenos usando la fórmula -

$2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}$, para obtener la siguiente expresión -

$\dfrac{1}{2}(\cos{8A}-\cos{10A}-\cos{2A}+\cos{20A}-\cos{10A}+\cos{28A}+\cos{28A}-\cos{30A}-\cos{18A}+\cos{40A}-\cos{10A}+\cos{48A}-\cos{30A}+\cos{32A}+\cos{20A}-\cos{42A}+\cos{12A}-\cos{50A})$

Ahora, convierte todos esos cosenos cuyos ángulos son mayores a 90 grados (es decir, mayores a $35A$ aquí), en cosenos de ángulos menores a 90 grados (es decir, menores a $35A$ aquí), usando el hecho de que $\cos{(180-A)}=-\cos{A}$, para obtener la siguiente expresión simplificada -

$\dfrac{1}{2}(\cos{8A}-3\cos{10A}-\cos{2A}+3\cos{20A}+3\cos{28A}-3\cos{30A}-\cos{18A}-\cos{22A}+\cos{32A}+\cos{12A})$, que se convierte en -

$\dfrac{1}{2}((\cos{8A}-\cos{22A})-(\cos{2A}+\cos{18A})+(\cos{32A}+\cos{12A})-3\cos{10A}+3\cos{20A}-3\cos{30A}+3\cos{28A})$

$\dfrac{1}{2}((\cos{8A}-\cos{22A})-2\cos{10A}\cos{8A}+2\cos{22A}\cos{10A}-3\cos{10A}+3\cos{20A}-3\cos{30A}+3\cos{28A})$

$\dfrac{1}{2}((\cos{8A}-\cos{22A})(1-2\cos{10A})-3\cos{10A}+3\cos{20A}-3\cos{30A}+3\cos{28A})$

$\dfrac{1}{2}((2\sin{15A}\sin{7A})(1-2\cos{10A})-3\cos{10A}+3\cos{20A}-3\cos{30A}+3\cos{28A})$

$\dfrac{1}{2}((2\sin{7A})(\sin{15A}-2\sin{15A}\cos{10A})-3\cos{10A}+3\cos{20A}-3\cos{30A}+3\cos{28A})$

$\dfrac{1}{2}((2\sin{7A})(\sin{15A}-\sin{25A}-\sin{5A})-3\cos{10A}+3\cos{20A}-3\cos{30A}+3\cos{28A})$

Ahora usa: $\sin{15A}=\cos{20A},\sin{25A}=\cos{10A},\sin{5A}=\cos{30A}$ (Pares de ángulos complementarios, ¡compáralos por ti mismo!) para escribir la expresión anterior como -

$\dfrac{1}{2}((2\sin{7A})(\cos{20A}-\cos{10A}-\cos{30A})+3(\cos{20A}-\cos{10A}-\cos{30A})+3\cos{28A})$

$\dfrac{1}{2}((2\sin{7A}+3)(\cos{20A}-\cos{10A}-\cos{30A})+3\cos{28A})$

Ahora usa: $\cos{20A}=-\cos{50A}$ (Pares de ángulos suplementarios, ¡compáralos por ti mismo!) y reescribe la expresión anterior como -

$\dfrac{1}{2}((2\sin{7A}+3)(-\cos{10A}-\cos{30A}-\cos{50A})+3\cos{28A})$ ... (1)

$\cos{10A}+\cos{30A}+\cos{50A}=\dfrac{\cos{30A}\times\sin{30A}}{\sin{10A}}=\dfrac{\sin{60A}}{2\sin{10A}}=\dfrac{1}{2}$. Sustituye esto en la expresión (1) para obtener -

$\dfrac{1}{2}(-\dfrac{1}{2}(2\sin{7A}+3)+3\cos{28A})$

Pero $\cos{28A}=\sin{7A}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$. ¡Finalmente pon estas para obtener tu respuesta!